DGl-System / Hauptvektor

04.11.2006, 17:22

Schmonk

DGl-System / Hauptvektor

Servus!

Für eine Aufgabe muss ich unter anderem folgendes DGl-System in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ lösen:

$\begin{eqnarray*} \dot x = \alpha x - y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot y = x + \alpha y \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \vec{v} = (x,y)^T \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \dot{\vec{v}} = \begin{pmatrix} \alpha & -1 \\ 1 & \alpha \end{pmatrix} \vec{v} \end{eqnarray*}$

Also berechne ist erst einmal die Eigenwerte und - vektoren zur Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha - \lambda & -1 \\ 1 & \alpha - \lambda \end{vmatrix} = (\alpha - \lambda)^2 +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ergibt

$\begin{eqnarray*} \lambda = \alpha - i \end{eqnarray*}$

als Eigenvektor mit algebraischer Vielfachheit 2 und der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u}_1 \end{eqnarray*}$ hierzu lautet

$\begin{eqnarray*} \vec{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt meiner Meinung nach alles.
Doch nun brauche ich (zumindest so wie ich das gelernt habe) noch einen Hauptvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u}_2 \end{eqnarray*}$ und den erhalte ich aus $\begin{eqnarray*} (A - \lambda I)^2 \vec{u}_2 = 0 \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda I) \vec{u}_2 = \vec{u}_1 \end{eqnarray*}$

Ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & -1 & | & 1 \\ 1 & i & | & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich jetzt die obere Zeile mit i multipliziere und zur unteren hinzuaddiere (also ganz normaler Gauß-Ansatz) erhalte ich den Widerspruch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und was mache ich nun? Ich habe mal gesehen, dass es auch noch einen anderen Weg gibt Hauptvektoren zu berechnen. Allerdings blieb der leider nicht im Kopf haften. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich wäre sogar erfreut, wenn mir jemand sagt, dass ich mich einfach mal ganz klar verrechnet habe.

Grüße!

04.11.2006, 21:21

Abakus

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RE: DGl-System / Hauptvektor

Zitat:

Original von Schmonk
Also berechne ist erst einmal die Eigenwerte und - vektoren zur Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \alpha - \lambda & -1 \\ 1 & \alpha - \lambda \end{vmatrix} = (\alpha - \lambda)^2 +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ergibt

$\begin{eqnarray*} \lambda = \alpha - i \end{eqnarray*}$

Was ist mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \alpha + i \end{eqnarray*}$ ?

Grüße Abakus smile

04.11.2006, 21:40

Schmonk

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Argh!
So doll kann ich gar nicht zuhauen, wie ich mich schlagen will. Aber ich danke dir, ich wusste ich habe irgendwo 'nen dummen Fehler drin...
Aber so geht's dann wenigstens ganz leicht. Rock

Schönen Abend noch!

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