Kovariante Ableitung berechnen

11.07.2010, 18:43	Bigga	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovariante Ableitung berechnen Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:. Gegeben sei durch F mit $\begin{eqnarray} F(t, \phi) = \begin{pmatrix} r(t) \cos(\phi) \\ r(t) \sin(\phi) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Parametrisierung einer Drehfläche. Ermitteln SIe notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass a) $\begin{eqnarray} c(t) = F(t,\phi_0) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} c(t) = F(t_0,\phi) \end{eqnarray}$ Geodätische auf S sind Meine Ideen: So die ersten beiden Ableitungen gebildet für die Raumkurve $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ (wenn ich den Dreh raus hab, wird die (b) ja kein Problem sein ...) $\begin{eqnarray} \dot{c_1} = v_1 = \begin{pmatrix} \dot{r}(t) \cos \phi_0 \\ \dot{r}(t) \sin \phi_0 \\ \dot{z}(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot{c}_1 = \dot{v}_1 = \begin{pmatrix} \ddot{r}(t) \cos \phi_0 \\ \ddot{r}(t) \sin \phi_0 \\ \ddot{z}(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun gilt für die zweite Ableitung laut Vorlesung $\begin{eqnarray} \frac{\nabla}{dt} v(t) = \dot{v}(t) - \langle \dot{v}(t), N(p) \rangle N(p) \end{eqnarray}$ , wobei N(p) einer der beiden Einheitsnormalenvektoren an S im Punkt p. Mir fehlt also nur noch N(p). Allerdings ist mir nicht klar, wie ich diesen Vektor ermittle.
13.07.2010, 12:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Fläche gegeben, die von den beiden Parametern t und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ abhängt. Hält man den Parameter $\begin{eqnarray} \phi=\phi_0 \end{eqnarray}$ fest und lässt nur den Parameter t laufen, erhält man eine Kurvengleichung für die t-Koordinatenlinien auf der gekrümmten Fläche $\begin{eqnarray} \vec c(t)=\vec F(t,\phi_0) \end{eqnarray}$ Hält man den Parameter $\begin{eqnarray} t=t_0 \end{eqnarray}$ fest und lässt nur den Parameter $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ laufen, erhält man eine andere Kurvengleichung für die $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ -Koordinatenlininen auf der gekrümmten Fläche $\begin{eqnarray} \vec c(\phi)=\vec F(t_0,\phi) \end{eqnarray}$ Die Frage ist nun, wann diese Koordinatenlinien Geodätische sind. Bekanntlich verschwindet auf Geodätischen die kovariante Ableitung. Anschaulich ist eine Geodätische durch folgendes ausgezeichnet: Ein Auto, das auf einer Geodätischen fährt, "merkt" keine tangentialen Zentrifugalkräfte (also keine seitlichen Kräfte). Dies ist z.B. der Fall, wenn das Auto auf dem Äquator einer Kugel (=Großkreis) fährt, weil dann die Zentrifugalkräfte nur in Normalrichtung wirken. Fährt darselbe Auto dagegen auf einem Breitenkreis, der parallel zum Äquator liegt, dann wirken tangentiale Zentrifugalkräfte. Deshalb sind alle Breitenkreise außer dem Äquator keine Geodätischen. Die Frage ist also, auf welchen Kurven innerhalb der Fläche verschwinden die tangentialen Zentrifugalkräfte. Diese seitlichen Kräfte (bis auf einen Faktor) sind gerade gegeben durch den Ausdruck $\begin{eqnarray} \left (\frac{\partial^2 \vec F}{\partial u^2} \times \frac{\partial \vec F}{\partial u} \right )\cdot \vec N \end{eqnarray}$ Berechne also den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec N \end{eqnarray}$ . Setze anstelle von u deine parameter t bzw. $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein und berechne, unter welchen Umstanden der letztgenannte Produkt verschwindet.
18.07.2010, 20:31	Bigga.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Erklärung

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