ähnlich -> kongruent

12.07.2010, 10:59	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
ähnlich -> kongruent Hallo, ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass für reelle symmetrische Matrizen, die ähnlich sind, stets auch folgt, dass sie kongruent sind! So, ich nenne meine symmetrischen Matrizen A und B. Ähnlich heißt: $\begin{eqnarray} B=S^{-1}AS \end{eqnarray}$ , mit S invertierbar. Nun transponiere ich beide Seiten und kann wegen der Symmetrie für $\begin{eqnarray} A^T=A \end{eqnarray}$ schreiben (B entspr.): $\begin{eqnarray} B^T=(S^{-1}AS)^T=S^T \cdot A^T \cdot (S^{-1})^T \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} B=S^TA(S^{-1})^T \end{eqnarray}$ Die Definition von Ähnlichkeit sagt aber: $\begin{eqnarray} B=S^TAS \end{eqnarray}$ , d.h. ich müsste jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} (S^{-1})^T=S \end{eqnarray}$ ... aber wie? Oder geht es auch anders? Liebe Grüße
12.07.2010, 11:46	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
A und B sind als symmetrische ähnliche Matrizen orthogonal ähnlich zu der selben Diagonalmatrix.

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