Problem beim Benutzen von Summen- oder Produktzeichen

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iluminati Auf diesen Beitrag antworten »
Problem beim Benutzen von Summen- oder Produktzeichen
Hallo Leute,
ich habe hier folgendes Problem:

Aufgabe:
Finde eine Formel in Abhängigkeit von n, die den Wert der Summe
6 + 66 + 666 + 666...6
einfach berechnet. Die Summe besteht dabei aus n = 1, 2, 3, 4,...Summanden und der Summand an Position i besteht aus i Kopien der Ziffer 6,

Mein Vorschlag:
Die Summe ist ja so aufgebaut:


Man könnte es also so machen:
Wie man sieht ist das, was in den eckigen Klammern steht, nach dem Muster aufgebaut.
Also würde ich eine Funktion erstellen, die da lautet
f(x) = 10^x * (n-x)


Man könnte also sagen:
die lösung sei:
6n * (f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-1) + f(n))

Meine Frage:
Wie könnte man das, was in den Klammern ist, mit Summen oder vielleicht mit Produktzeichen verkürzen bzw. wie könnt ich die Aufgabe anders lösen?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem beim Benutzen von Summen- oder Produktzeichen
Zu Folgen und Reihen kann ich nicht gar so viel sagen, aber ich poste mal das, was ich mir dazu überlegt habe, auch wenn es nicht sehr mathematisch aussieht.

Zuerst eine einfache Tabelle, um Formeln zu überprüfen. Wie die Summe zustande kommt, hast Du ja beschrieben.

n=0: 6 --> Summe 6
n=1: 66 --> Summe 72
n=2: 666 --> Summe 738
n=3: 6666 --> Summe 7404
n=4: 66666 --> Summe 74070
n=5: 666666 --> Summe 740736

Die gesuchte Summe würde ich allgemein mal so darstellen: 6 * (1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + . . . )

Umformen des Klammerausdrucks:

Ausklammern von 1/9 und Zusammenfassen der 1en, die subtrahiert werden:



Nach dem Umformen der eckigen Klammer habe ich eine Formel, mit der ich in Abhängigkeit von n die jeweilige Summe ausdrücken kann:



Suchst Du das und was meinst Du mit Summen und Produktzeichen?
 
 
iluminati Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
so in etwa dachte ich es mir auch.

Kam bloß nicht auf diese Formel zum Schluß.
Wusste nicht ganz recht, wie man 10^0+1 + 10^1+1 ... zusammenfassen konnte.
Danke vielmals.

PS: Vor mir steht ja noch das ganze Leben (siehe Alter)
PS2: Wenn Du Lust hast, könntest Du mir es erklären, bzw. einen Linke geben für eine Instrukion.
iluminati Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nur noch mein Verbesserungsvorschlag:

1. In der Aufgabe Stand, sei i die Anzahl der Kopien und i an welcher Stelle die letzte Zahl steht.
=>
2. es heißt also:
n=1 ->6
n=2 ->66
n=3 ->666
...

=>


=>


Ist meiner Meinung nach nicht so kompliziert und es ergibt auch immer das richtige Ergebnis.
Ansonsten müsste ich ja bei dir immer wenn ich die Summe (bestehend aus n Summanden) mithilfe von n-1 ausrechnen.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin davon ausgegangen, dass ich bei den Folgen und Reihen mit Index Null beginne, aber es kann sein, dass meine Formeln nicht ganz damit übereinstimmen. Ich schaue es mir an, muss aber jetzt dringend weg und bin erst eher am späten Abend wieder ON; ich melde mich nochmal.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich diese Bedingung
Zitat:
Die Summe besteht dabei aus n = 1, 2, 3, 4,...Summanden und der Summand an Position i besteht aus i Kopien der Ziffer 6,

zu wenig genau gelesen bzw. überlesen.

Sehen wir den Klammerausdruck (1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + . . . ) als Folge an und versuchen wir, ein Bildungsgesetz für jedes Glied in Abhängigkeit von seiner "Platznummer", also dem Index i, zu finden. (Achtung: Ich bleibe bei i statt n.)

Setzen wir a(5) = 11111 und betrachten diese Zahl als Summe von Zehnerpotenzen.



Die Summe von Potenzfolgen kann man leicht zusammenfassen. Lies diesen Artikel oder diesen Link, da wird das erklärt.



Für die gesuchte Summe müssen wir also rechnen:

Von jetzt an ist der Rechenweg gleich wie in meinem ersten Beitrag, und Du kommst auf die Formel, die Du ja schon richtig erkannt hast.

Bei Stoffgebiet Folgen und Reihen wirst Du das noch gründlicher durchnehmen. Freude
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