Eingenvektor aus Eigenwert

12.07.2010, 14:17

oliveeera88

Eingenvektor aus Eigenwert

Hallo,
kann mir jemand weiterhelfen und sagen, ob meine Lsg bzgl folgender Aufgabe richtig ist?

Aufgabe:

gegeben ist die Übergangsmatrix L
1-2a,a,a
a ,1-2a,a
a, a, 1-2a

für a soll mit 1/8 gerechnet werden.

ein eigenwert ist lambda =1. finden sie einen zugehörigen eingenvektor p(p1,p2,p3) mit den Eigenschaften p1>0,p2>0,p2>0 und p1+p2+p3=1.

Meine Lösung:

Mit der Formel (A-lambda*E)*x=0 habe ich den Eigenvektor ausgerechnet und bin auf p(1/3,1/3,1/3) gekommen stimmt das?

danke für die Hilfe

12.07.2010, 14:23

klarsoweit

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RE: Eingenvektor aus Eigenwert

Zitat:

Original von oliveeera88
Mit der Formel (A-lambda*E)*x=0 habe ich den Eigenvektor ausgerechnet und bin auf p(1/3,1/3,1/3) gekommen stimmt das?

Ja, aber warum zweifelst du?

12.07.2010, 14:31

oliveeera88

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einfach etwas unsicher.

habe jetzt nochmal eine frage und zwar soll man weiter für p den zweiten eigenwert berechen ich würde es über die fromel det(A-lambda*E)=0 machen. in der determinante lambda variabel lassen und danach nach lambda auflösen.
komme dann aber auf lamdba^3 was ja drei lösungen zur folge hat aber laut aufgabe gibt es nur zwei eigenwerte.

12.07.2010, 14:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von oliveeera88
komme dann aber auf lamdba^3 was ja drei lösungen zur folge hat

Wer sagt denn sowas? f(x) = x³ - x² hat auch nur 2 verschiedene Lösungen.

12.07.2010, 14:58

oliveeera88

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ich komme dann auf die gleichung lambda^3+(6/8)*lambda^2-(39/64)*lambda+200/512 = 0 komme dann aber auf keine lsg.

12.07.2010, 15:02

oliveeera88

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ich kann ja mit lambda1=1 eine polynomdivision durchführen, aber lambda1 ist keine nullstelle des polynoms.
lambda^3+(6/8)*lambda^2-(39/64)*lambda+200/512 = 0

12.07.2010, 15:17

klarsoweit

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Dann hast du offensichtlich das charakteristische Polynom falsch ausgerechnet. Augenzwinkern

12.07.2010, 15:35

oliveeera88

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wieder etwas falsches damn!

Also ich habe dann als det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6/8-\lambda & 1/8 & 1/8 \\ 1/8 & 6/8-\lambda & 1/8 \\ 1/8 & 1/8 & 6/8-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} (6/8-\lambda)((6/8-\lambda)^2-1/64)-1/8*(1/8*(6/8-\lambda)-1/64)+1/8*(1/64-1/8*(6/8-\lambda))=0 \end{eqnarray*}$

und dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} -\lambda^3+6/8*\lambda^2-105/64+200/512=0 \end{eqnarray*}$

damn wo ist der fehler?

12.07.2010, 15:44

oliveeera88

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sry noch die zwischenschritte:

$\begin{eqnarray*} (6/8-\lambda)^3-1/64(6/8-\lambda)-1/8(6/64-1/8*\lambda-1/64)+1/8(1/64-6/64+1/8*\lambda)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (27/64)-(72/64)*\lambda-(6/8)*\lambda^2-(36/64)*\lambda+(3/2)*\lambda^2-\lambda^3-(6/512)+(\lambda/64)-(6/512)+(1/64)*\lambda+(1/512)+(1/512)-(6/512)+(1/64)*\lambda=0 \end{eqnarray*}$

12.07.2010, 15:57

klarsoweit

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Ich habe irgendwie das Gefühl, daß bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} (\frac 6 8 - \lambda)^3 \end{eqnarray*}$ etwas schief gelaufen ist.

12.07.2010, 17:07

oliveeera88

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ich habe jetzt als zweiten eigenwert 5/8 raus.
denke das stimmt.

als zwei unabhängige vektoren von l zum eigenwert 5/8 habe ich v1=(1,0,-1)und v2=(0,1,-1)
richtig?

13.07.2010, 09:35

klarsoweit

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Ja, wie man leicht nachrechnet, wenn man mal $\begin{eqnarray*} \frac 1 8 \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit den Eigenvektoren multipliziert. Augenzwinkern

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