hyperharmonische Reihe

04.11.2006, 17:35

moinmoin

hyperharmonische Reihe

Moin!

wir haben in der letzten Vorlesung über folgende Reihen diskutiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$

Nach Integralkriterium ist die erste divergent und die zweite konvergent. (fast) kein problem.

Nur frage ich mich, warum der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{\pi²}{6} \end{eqnarray*}$ ist.

gibt es da eine elegante Methode, den Grenzwert zu berechnen?!?

04.11.2006, 17:51

akechi90

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An das Problem kannste auf viele verschiedene Arten rangehen, am "elegantesten" wäre natürlich die Euler'sche Herleitung des Grenzwertes, ansonsten kannste natürlich auch auf Fourier-Reihen ausweichen, die Methode is aber schon wieder ziemlich kompliziert.
Wenn du willst, kann ich dir nachher ja mal den Euler'schen Beweis für die genannte Identität skizzieren.

04.11.2006, 17:57

moinmoin

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also ich hab schon einen Beweis im Netz gefunden, aber ich versuche viel Umformen nach Möglichkeit zu umgehen... und ausserdem wurde da die Taylorreihe benutzt, kenn ich nicht, mag ich nicht...

wenn Du eine elegante Methode hast, dann immer her damit!

04.11.2006, 22:49

akechi90

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Das Problem ist leider, es ist genau dieser Beweis mit der Taylorreihe, den ich kenne, und Fourier-Reihen sind mir noch ein zu komplexes Thema, tut mir leid.

05.11.2006, 00:02

Mathespezialschüler

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Hallo!
Ich würde die Beweisskizze sehr gern sehen (oder auch einen Link zu diesem Beweis)!

Gruß MSS

05.11.2006, 20:17

akechi90

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OK, dann mach ich halt für dich den Eulerschen Beweis:

Zuerst ermittelte Euler eine Summenformel für den Term $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ . Ich werds im späteren Verlauf des Beweises einfach als Summe aufschreiben:
Mit Taylorreihen erhält man:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} = 1- \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} +... \end{eqnarray*}$ .
Da die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ immer von der Form $\begin{eqnarray*} n \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit n ungleich 0 sind, schrieb Euler den Term $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ so:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=(1- \frac{x}{\pi})(1+ \frac{x}{\pi})(1- \frac{x}{2 \pi})(1+ \frac {x}{2 \pi})...= (1- \frac{x^{2}}{\pi^{2}})(1- \frac{x^{2}}{4 \pi ^{2}})... \end{eqnarray*}$ .
Da bei gleichen Polynomen auch alle Koeffizienten gleich sind, rechnete Euler das Quadratische Glied des zweiten Terms aus und setzte es mit dem Quadratischen Glied des ersten Terms gleich:
Es ist:
$\begin{eqnarray*} -(\frac{1}{\pi^{2}}+ \frac{1}{4 \pi^{2}}+ \frac{1}{9 \pi ^{2}}+...) = -\frac{1}{3!} \end{eqnarray*}$
Durch einfache Umformungen erhält man nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} +...= \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*}$ .
q.e.d.

Also ich finde diesen Beweis sehr schön.
Hoffe, damit einigen einen Gefallen getan zu haben ^^

EDIT: Wer sich den Beweis und seine Hintergründe nochmal genauer zu Gemüte führen will, dem empfehle ich die Spektrum der Wissenschaft Spezial 2/2005 - "Unendlich (plus 1)" ^^ Stehn auch andere interessante Sachen drin.

05.11.2006, 20:23

Mathespezialschüler

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Die Idee ist ja mal megagenial. Big Laugh

Wäre nur die Frage nach der Umsetzung in einen Beweis, ich werd mal sehen, ob ich das selbst schaff ...

Zitat:

Original von akechi90
Zuerst ermittelte Euler eine Summenformel für den Term $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ . Ich werds im späteren Verlauf des Beweises einfach als Summe aufschreiben:

Was für eine Summenformel meinst du denn?

Gruß MSS

05.11.2006, 20:50

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Sieht sehr elegant aus, allerdings ist die Stelle

Zitat:

Original von akechi90
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=(1- \frac{x}{\pi})(1+ \frac{x}{\pi})(1- \frac{x}{2 \pi})(1+ \frac {x}{2 \pi})... \end{eqnarray*}$ .

so ohne weitere Begründung ziemlich problematisch: Wieso kann man diese von endlichen Polynomen bekannte Darstellung auch für "unendliche Produkte" verwenden? Augenzwinkern

05.11.2006, 20:53

Mathespezialschüler

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Für diese Stelle sah ich auch das Problem bei der Umsetzung in einen Beweis, aber soweit ich weiß, hat Euler das damals ja sowieso nicht so genau genommen. Big Laugh

Gruß MSS

05.11.2006, 21:30

akechi90

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Stimmt, der Großteil seiner Vorgehensweise ist intuitiv gewesen, in meiner Spektrum der Wissenschaft steht auch, dass Euler die Werte von $\begin{eqnarray*} \zeta (x) \end{eqnarray*}$ für alle geraden und positiven Werte von x richtig ermitteln konnte, aber diese Ergebnisse erst später komplett nachvollzogen wurden.
Auf jeden Fall zeigt das, dass Euler ein echtes Genie war, Hut ab ^^

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