Konvergenz einer rekursiven Folge

12.07.2010, 16:34

Matheversteher

Konvergenz einer rekursiven Folge

Hallo Matheboarder smile

ich sitze an folgender aufgabe (im anhang). wir schreiben nächste woche eine klausur (ana1) und rekursive folgen sind bestandteil der klausur. leider haben wir in unseren übungen keine rekursiven folgen gehabt (nur in unserer vorlesung angesprochen).
.

habe zunächst die ersten werte berechnet. und so wie es aussieht konvergiert das ganze gegen 1.
(der erste wert ist 2/3). somit ist die folge monoton steigend.

monotonie: es muss gelten
$\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$ (das ganze würde ich dann mit induktion zeigen)

beschränktheit: es muss gelten
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<1 \end{eqnarray*}$

so wenn ich das getan habe muss ich zeigen, dass 1 wirklich der grenzwert ist. aber wie mache ich das denn? kann mir da jemand weiterhelfen bzw kann mir jemand sagen ob meine ansätze bisher richtig snd?

gruß flo

12.07.2010, 17:11

Iorek

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Du hast also Monotonie und Beschränktheit schon nachgewiesen? Daraus folgt ja sofort die Konvergenz der Folge gegen einen Wert $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jetzt überleg dir mal, was du mit diesem Wert und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ anstellen könntest.

Und wieso stellt man eine Frage, wenn man sich dann doch tagelang nicht für eine mögliche Lösung bzw. einen Hinweis zur Lösung interessiert?

14.07.2010, 12:08

Matheversteher

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Antwort zu deine Frage

Zitat:

Original von Iorek
Du hast also Monotonie und Beschränktheit schon nachgewiesen?

Also bei der Monotonie bin ich mir fast sicher pb es rchtig ist. bei der beschränktheit aber absolut gar nicht, da ich 1 als grenzwert nur durch einsetzen der werte vermute.

monotonie:
hier habe ich heraus, dass $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.
mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-a_n} < \frac{1}{2-(a_{n+1})} \end{eqnarray*}$ somit ist die folge (wachsend) monoton.

beschränktheit.
hier habe ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ (hier habe ich nur vemutet, dass 1 der wert ist gegen den die folge konvergiert) aber wie zeige ich denn, dass 1 auch wirklich der konvergenzwert ist?

allgemeine frage bis hierhin, ist es bis hierhin richtig??? den nun konvergiert meine reihe.

tut mir Iorek ich wollte nicht ignorant sein oder dich lange warten lassen aber ich hatte die letzten beiden tage leider noch andere sachen zu tun.

14.07.2010, 14:27

Iorek

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Zitat:

Original von Matheversteher

monotonie:
hier habe ich heraus, dass $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.
mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-a_n} < \frac{1}{2-(a_{n+1})} \end{eqnarray*}$ somit ist die folge (wachsend) monoton.

Wenn du das sauber z.B. per Induktion bewiesen hast, ist das in Ordnung (so wie es jetzt da steht, wäre es natürlich kein sauberer Beweis, wie es bei dir auf dem Blatt steht kann ich also nicht beurteilen)

Zitat:

Original von Matheversteher
beschränktheit.
hier habe ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ (hier habe ich nur vemutet, dass 1 der wert ist gegen den die folge konvergiert) aber wie zeige ich denn, dass 1 auch wirklich der konvergenzwert ist?

Das sind zwei verschiedene Sachen. Zuerst willst du zeigen, dass deine Folge beschränkt ist. Welchen Wert du als obere Schranke nimmst, ist dafür vollkommen egal. Statt $\begin{eqnarray*} a_n<1~\forall~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ könntest du genausogut zeigen $\begin{eqnarray*} a_n<500~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Es ist erstmal nur von Interesse, ob die Folge beschränkt ist, danach kann man nach einem Grenzwert suchen.

Zitat:

Original von Matheversteher
allgemeine frage bis hierhin, ist es bis hierhin richtig??? den nun konvergiert meine reihe.

Das Vorgehen ist richtig.

Zur Berechnung des Grenzwerts verweise ich nochmal auf meinen ersten Post; aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz gegen einen Wert $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Nun gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , jetzt bring das mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Zusammenhang, dann kannst du den Wert genau berechnen.

14.07.2010, 14:52

Matheversteher

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okee zunächst erstmal die monotonie:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-a_n} < \frac{1}{2-(a_{n+1})} \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} 2-a_n > 2-(a_{n+1}) \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$
so habe ich es jetzt mit der monotonie gemacht. einfach so lange aufgelöst bis ich wieder meine vorrausetzung habe. oder ist das falsch?

alternativ hätte ich noch:
$\begin{eqnarray*} a_n < \frac{1}{2-(a_{n+1})} \end{eqnarray*}$ auch hier würde ich dann wieder so umformen bis ich am ende
$\begin{eqnarray*} (a_n-1)^2 > 0 \end{eqnarray*}$
habe.

Grenzwert:
das habe ich jetzt nach diesem post mal gerechnet
http://www.matheboard.de/archive/2315/thread.html

dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2-a_n} \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n^2-2a_n +1 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} (a_n-1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} |a_n-1| = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ somit ist a_n = 1 mein grenzwert (bei den betragstrichen bin ich mir nicht sicher ob die richtig gesetzt sind)

14.07.2010, 15:11

Iorek

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Zitat:

Original von Matheversteher
okee zunächst erstmal die monotonie:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-a_n} < \frac{1}{2-(a_{n+1})} \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} 2-a_n > 2-(a_{n+1}) \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$
so habe ich es jetzt mit der monotonie gemacht. einfach so lange aufgelöst bis ich wieder meine vorrausetzung habe. oder ist das falsch?

Wenn du noch die Formalitäten wie IA...erledigst, sollte das so ok sein.

Zitat:

Original von Matheversteher
Grenzwert:
das habe ich jetzt nach diesem post mal gerechnet
http://www.matheboard.de/archive/2315/thread.html

dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2-a_n} \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n^2-2a_n +1 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} (a_n-1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} |a_n-1| = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$ somit ist a_n = 1 mein grenzwert (bei den betragstrichen bin ich mir nicht sicher ob die richtig gesetzt sind)

Nein, so kannst du das nicht machen. $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist ein Folgenwert und nicht der Grenzwert (was ich in dem Post auch sehr komisch erklärt finde). Es ist $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ , verwende das in deiner Rechnung, dann kannst du die fast so lassen.

14.07.2010, 15:34

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer rekursiven Folge

Zitat:

Original von Matheversteher
habe zunächst die ersten werte berechnet. und so wie es aussieht konvergiert das ganze gegen 1.
(der erste wert ist 2/3). somit ist die folge monoton steigend.

Damit kommt der Verdacht auf, daß die Folge monoton steigend ist. Ein Beweis ist das aber nicht.

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Wenn du noch die Formalitäten wie IA...erledigst, sollte das so ok sein.

Das geht ganz locker ohne vollständige Induktion, dann braucht man auch keinen IA. Allerdings muß man noch zeigen, daß a_n < 2 ist.

14.07.2010, 19:07

Matheversteher

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Zitat:

Original von Iorek
Wenn du noch die Formalitäten wie IA...erledigst, sollte das so ok sein.

ja daran muss ich unbedingt denken.

aber das mit dem limes will mir nicht so ganz klar sein.
also ich schreibe
$\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ mhhh aber dann wie weiter?
(dreist gefragt, könntest du mir zeigen wie man es hier für den grenzwert aufschreibt?)
oder kann ich jetzt alles wieder so aufschreiben wie ich es schonmal gemacht habe mit

Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2-a_n} \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n^2-2a_n +1 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} (a_n-1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} |a_n-1| = 0 \end{eqnarray*}$
<--> $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$

das wäre jetzt aber bestimmt wieder zu einfach

ansonsten wüsste ich jetzt leider unglücklich

nichts mehr mit deinem hinweis anzufangen

14.07.2010, 19:14

Iorek

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Du hast quasi schon die richtige Rechnung durchgeführt, du musst eigentlich nur die Beschriftung ändern Augenzwinkern

Die Folge ist monoton und beschränkt -> die Folge konvergiert gegen einen Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Also können wir schreiben $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ , allerdings ist natürlich dann auch $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen zusammen: $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1{2-\underbrace{a_n}}_{\rightarrow a}=\frac 1{2-a} \end{eqnarray*}$ .

17.07.2010, 13:00

Matheversteher

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alles klar vielen dank Iorek Wink

17.07.2010, 15:10

andshow

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Jetzt hast du es wohl schon raus
habs auch mal gemacht, ich glaub so könnt man es lassen oder

17.07.2010, 16:45

Matheversteher

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also ich würde mal spontan sagen, ja so kann man es machen.
man sollte evtl zur übersichtlichkeit noch hinschreiben was monotonie und beschränktheit ist.

also unter vorbehalt sage ich mal, dass es richtg ist was du gemacht hast smile

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