Körper / Vektorraum |
| 12.07.2010, 17:33 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Körper / Vektorraum ich habe angefangen mich mit Mathematik auseinanderzusetzen und bin auf den begriff des Körpers gekommen (und auch vektorraum) leider kann ich mir darunter nicht vorstellen und wäre über eine anschauliche erklärung froh (bitte keine definitionen, die habe ich mir schon angeschaut). ich würde gerne nur eine anschauliche erklärung haben. (und ich bin mir bewusst, dass man mathematik ohne definitionen nicht betreiben kann...) bienIII |
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| 12.07.2010, 17:39 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht jedes mathematische Konzept hat eine Anschauung. 
Körper sind nunmal Strukturen, in denen gewisse Rechenoperationen erlaubt sind und gewisse Eigenschaften erfüllen. Sie ähneln sehr dem Konzept der reellen Zahlen, das man kennt (sind aber eben eine Verallgemeinerung). Vektorräume sind dann nochmal ein weiteres Konzept. Diese kann man sich noch recht gut eben als Räume vorstellen, die an jeder Stelle einen Punkt haben. Auch hier gibt es eben Rechenoperationen etc. Allerdings müssen die Elemente des Vektorraums nicht notwendigerweise das sein, was man gemeinhin als "Punkt" versteht. Die Vektoren können sogar komplette Funktionen etc. sein. Vermutlich befriedigt dich diese Antwort nicht gänzlich. Aber du musst dich daran gewöhnen, dass viele Dinge keine direkte Anschauung haben, sondern schlicht und ergreifend Strukturen sind, die man aus einem gewissen Sinn heraus definiert, um mit ihnen zu arbeiten. Die beste "Vorstellung" erhält man noch immer aus den definierenden Axiomen heraus. Aber irgendwas hinzeichnen und sagen "Das ist ein Körper!" kann man nicht.
air |
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| 12.07.2010, 17:48 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das hatte ich befürchtet. das problem ist einfach, dass ich mir das einfach nicht merken kann speziell die Körper-geschichte. Ich habe auch oft von'' die reellen Zahlen bilden einen Körper'' gelesen. das macht mir irgentwie auch probleme |
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| 12.07.2010, 17:51 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was genau meinst du mit "merken"? Die Körperaxiome? Nunja .. das sind Dinge, da muss man einfach durch. Es wird etwas einfacher, wenn man sich vor Augen hält, dass bei den meisten algebraischen Strukturen die Axiome recht gleich sind, aber man fordert halt mal eine Eigenschaft mehr oder weniger und mal die eine und dann die andere etc.
Dass die reellen Zahlen einen Körper bilden stimmt. Was macht dir da Probleme? Du musst lediglich die Axiome nachweisen (was aber eine saubere Definition der Menge der reellen Zahlen erfordert). Edit: Es ist übrigens völlig normal, dass das Ganze am Anfang sehr verwirrend und schwer ist .. keine Sorge, in relativ kurzer Zeit hast du dich da problemlos dran gewöhnt. air |
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| 12.07.2010, 17:52 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann ich es mir den wenigstens so merken: ein Körper ist eine algebraische Struktur (bestehend aus einer nicht leeren Menge und gewissen Verknüpfungen) wenn man noch gewissen Axiome hinzunimmt (Vektorraum axiome) erhält man einen Vektorraum ? gruß BienIII |
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| 12.07.2010, 18:03 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei letzterem bin ich vorsichtig: Vom Körper zum Vektorraum kommst du i.A. nicht unbedingt dadurch, dass du ein paar Axiome hinzunimmst. Ein Vektorraum ist erstmal eine völlig eigene Struktur, die allerdings einen Körper benötigt, um zu funktionieren (denn ein VR benötigt die Fähigkeit, mit Skalaren zu multiplizieren). Dass ein K-Vektorraum eine Menge K^n ist, ist ja sozusagen ein Spezialfall. Per Definition muss die Vektorraummenge mit dem Skalarkörper erstmal nicht viel zu tun haben. So bildet z.B. die Menge K[t] der Polynome über K ebenfalls einen K-Vektorraum. air |
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| 12.07.2010, 18:05 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie das was ich zuvor geschrieben habe richtig ist (ich meine damit nicht gänzlich falsch) dann hätte ich noch eine letzte Frage: die Formulierung Vektorraum über dem Körper K bedeutet doch das man für den Vektorraum nur die Elemente benutzen darf, die in der Menge vom Körper drinliegen. z.b. Q Menge der Rationalen Zahlen, Körper K sei (Q, +, *) Sei V ein K-Vektorraum. dann dürfen die Elemente nur die Zahlen aus den Rationalen Zahlen annehmen... ist dies zutreffend? |
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| 12.07.2010, 18:16 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, dass ein Vektorraum eine algebraische Struktur mit bestimmten Axiomen ist stimmt natürlich, klar. Deine Vermutung bei der neuen Frage stimmt so nicht. Auch hier wieder das Beispiel: Nehmen wir als Körper mal die reellen Zahlen IR und als Vektorraum die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten IR[x]. Im Vektorraum liegen also Polynome, aber das sind ja keineswegs reelle Zahlen, sondern ganze Abbildungen. Der Skalarkörper ist lediglich wichtig, um eine skalare Multiplikation zu definieren. Im Beispiel: Ich kann natürlich sehr einfach eine Multiplikation definieren, wie ich Vielfache von Polynomen berechne. z.B. ist 2 * (x^2 + 3) = 2x^2 + 6. Mehr in Richtung zu deinem Beispiel: Man kann IR sowohl als IR- aber auch als Q-Vektorraum auffassen, also jeweils mit einem anderen Körper als Grundlage. Diese Vektorräume sind auch wirklich verschiedene Objekte! Dennoch sind die Vektoren in beiden Fällen i.A. reelle Zahlen, auch wenn "nur" Q der Skalarkörper ist. Von welchem Typ die Vektoren sind entscheidet die Vektorraummenge, nicht der Skalarkörper. Die Skalarmultiplikation kannst du dir so vorstellen, dass sie dazu dient, Vektoren strecken und stauchen zu können. air |
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| 12.07.2010, 18:31 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach dann ist z.B.: Sei K ein Körper (Q, + , *) und V ein R-Vektorraum. dann ist die beschränkung sozusagen nur auf die Elemente aus dem Körper? z.B. ist 1/2 aus dem Körper aber nicht Pi. aber in dem R-Vektorraum kann ich auf Pi 'Landen', da dort keine beschränkung da ist. hier nehme mir jetzt einen Vektor v1 (v1 ist eine Reelle Zahl) aus V sei b aus K und wenn ich jetzt eine multiplikation durchführe: b* v1 € V . [Wenn dir langsam die Geduld aus geht bitte sagen : ) ] |
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| 12.07.2010, 18:40 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ging ja nun einiges schief.
Ich vermute mal, du meintest folgendes: Den Q-Vektorraum IR. (d.h. V = IR und K = Q). Ja, im Skalarkörper ist dann z.B. 1/2, aber nicht Pi. Im Vektorraum selbst liegt Pi aber durchaus auch, korrekt. Was du mit dem letzten Teil sagen möchtest verstehe ich leider nicht. Pi ist bereits ein Element aus dem Vektorraum, also ist z.B. die Skalarmultiplikation 1*Pi = Pi. Meintest du das? Edit: Habe den Unsinn mal entfernt. air |
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| 12.07.2010, 18:42 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Airblader: Vektorräume haben doch keine eigene Multiplikation, dafür muss man schon einen Ring oder noch besser eine Algebra haben. [Zumindest wenn du Q als Vektorraum auffasst, als Körper hats ja eine recht schöne] |
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| 12.07.2010, 18:52 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Völlig richtig. Wie bin ich auf den Quark gekommen? air |
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| 12.07.2010, 18:56 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube das es klick gemacht hat. also das hier (d.h. V = IR und K = Q). bedeutet doch, dass meine Vektoren in dem Fall reelle Zahlen sind und meine skalare rationale Zahlen. wenn man beispielsweise nimmt den Q-Vektorraum R² dann habe ich ja z.b. folgende Vektoren (1,2) (beides reelle zahlen) und wenn ich jetzt die skalare multiplikation nehme, dann geht folgedens 1/2 * (1,2) -> (0.5 , 1) . ABER als skalare mulitplikation ist das folgende unmöglich Pi * (1,2) !!! damit ergibt sich ja, dass ich den Körper (für diese Zwecke) nur für skalare multiplikationen brauche |
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| 12.07.2010, 19:01 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt, wobei Q in R enthalten ist, wodurch es bisschen witzlos ist, da du die Sachen direkt erreichen kannst. Aber im Prinzip stimmt es. [Habe übernommen da air weg musste] |
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| 12.07.2010, 19:04 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok vielen vielen dank @ air du hast mir sehr geholfen @ vIfindU ich danke auch dir 
gruß bienIII |
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| 12.07.2010, 19:09 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah mist noch eine kleine sache: ist das korrekt: ohne den körper K gibt es keinen Vektorraum. Dann ist doch die algebraische Struktur eine abelsche gruppe . also anders gesagt ich mache aus: einer abelschen gruppe einen vektorraum indem ich das skalare mutliplizieren (also den Körper) hinzunehme ? |
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| 12.07.2010, 19:13 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man definiert sogar Vektorraum häufig so, dass man eine abelsche Gruppe um die skalare Multiplikation erweitert. Wobei die Multiplikation so definiert werden müssen, dass die nötigen Axiome erfüllt werden. Falls es dich interessiert, wenn man es um noch eine Verknüpfung, der "richtigen" Multiplikation erweiterst, machst du aus einem Vektorraum eine Algebra (unter bestimmten Voraussetzungen). |
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| 12.07.2010, 19:17 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das würde heißen K-Vektorraum + multiplikation (zwischen den vektoren) = Algebra das bedeutet das doch oder? |
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| 12.07.2010, 19:18 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich müssen die Multiplikationen die notwendigen Axiome erfüllen (zum Beispiel Assoziativ) aber im Prinzip stimmts. |
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| 12.07.2010, 19:20 | bienIII | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank. darauf werde ich wahrscheinlich auch irgentwann 'gestossen werden' : ) jetzt muss ich mich damit auseinandersetzen das ich mir alles merke gruß bienIII |
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| 12.07.2010, 19:21 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und von der Algebra zum Körper ist nur noch ein kleiner Sprung, da wenn ichs richtig in Erinnerung habe ein Körper nur 1 Axiom mehr hat (Existenz der Inversen). Edit: Kommutativität fehlt wohl auch. |
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