Erzeuger Borel Sigma Algebra

12.07.2010, 17:40

tohuwabou

Erzeuger Borel Sigma Algebra

Hallo zusammen,

ich überlege gerade wie ich folgende Aufgabe zu lösen habe.

Die Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wird erzeugt vom System aller halboffenen Intervalle

$\begin{eqnarray*} \mathcal I = \{(a,b] | a,b \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:
Das Megensystem
$\begin{eqnarray*} \mathcal E = \{(-\infty,a] | a \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ -stabiler Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ .

Muss ich nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) = \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) \supset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ ? Falls ja, wie geht man das an?

Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ durchschnittsstabil ist? Wenn ich zwei bel. $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nehme, so ist $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset [-\infty,b] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ . Aber dann kann ich noch nicht sagen, dass damit auch $\begin{eqnarray*} [a,b]= (-\infty, a] \cap (-\infty,b] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ oder?

Für Hilfe wäre ich dankbar.
gruß Tohuwabou

12.07.2010, 18:06

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Zitat:

Original von tohuwabou
Muss ich nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) = \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) \supset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Wobei es für $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I) \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ hinreichend ist, wenn du $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ zeigen kannst.

Genauso ist es für $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E) \subset \sigma(\mathcal I) \end{eqnarray*}$ hinreichend, wenn du $\begin{eqnarray*} \mathcal E \subset \sigma(\mathcal I) \end{eqnarray*}$ zeigst - kann beides so schwer nicht sein, wenn du an die verfügbaren Mengenoperationen denkst.

Zur Durchschnittsstabilität: Es geht NUR um $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ , also weiß ich nicht, warum du da mit den anderen Intervallen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal I \end{eqnarray*}$ rumoperierst. Alles, was du zeigen musst ist, dass es für zwei beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \cap (-\infty,b] = (-\infty,c] \end{eqnarray*}$

ist.

12.07.2010, 18:54

tohuwabou

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Achso, ok.
Zur Durchschnittsstabilität : Wähle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es ex. ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \le c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \le c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \cap (-\infty,b] \subset (-\infty,c] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ durchschnittstabil. ( könnt man auch sagen, dass o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und das damit $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \cap (-\infty,b]=(-\infty,a] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ ? )

Zu $\begin{eqnarray*} \mathcal E \subset \sigma(\mathcal I) \end{eqnarray*}$ :

Reicht hier nicht schon zu sagen, dass nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I)=\mathcal B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ alle bel. Intervalle enthält. Damit auch $\begin{eqnarray*} \mathcal E \subset \sigma(\mathcal I) \end{eqnarray*}$ .

Zu $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ :

Da $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ umfasst und jedes Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b] \in \mathcal I \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} (-\infty,b] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ ,gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

12.07.2010, 19:09

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Zitat:

Original von tohuwabou
könnt man auch sagen, dass o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und das damit $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \cap (-\infty,b]=(-\infty,a] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ ? )

Man kann.

Für beliebige a,b kann man das so formulieren:

$\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \cap (-\infty,b]=(-\infty,\min(a,b)] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tohuwabou
Reicht hier nicht schon zu sagen, dass nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal I)=\mathcal B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ alle bel. Intervalle enthält.

Nein, nach Definition zunächst erstmal nur die endlichen Intervalle. Dass auch $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \end{eqnarray*}$ drin ist, muss schon gezeigt werden!

Zitat:

Original von tohuwabou
Zu $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ :

Da $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ umfasst und jedes Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b] \in \mathcal I \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} (-\infty,b] \in \mathcal E \end{eqnarray*}$ ,gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ .

Nein: Die Aussage, dass für eine Menge A in der Sigmaalgebra auch deren Teilmengen in der Sigma-Algebra enthalten sind, ist i.a. falsch - so hast du gerade argumentiert. unglücklich

12.07.2010, 19:47

tohuwabou

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Mist , neuer Versuch Augenzwinkern

z.z. $\begin{eqnarray*} \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$

Also, $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ ist Sigma-Algebra, welche $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ umfasst.
Da Komplementbildung wieder in Sigma Algebra, wähle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-\infty,a] \backslash (-\infty,b] = (b,a] \in \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal I \subset \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ .

12.07.2010, 19:54

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Genau - so klappt es. Freude

12.07.2010, 20:07

tohuwabou

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fein fein, vielen Dank und einen schönen Abend.
Tanzen

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