Trigonometrische Funktionen numerisch auswerten

12.07.2010, 21:10

M.Staan

Trigonometrische Funktionen numerisch auswerten

Meine Frage:
Halli Hallo
Steh momentan aufm Schlauch, wie werte ich diesen Ausdruck nummerisch aus:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{sin}(\mathrm{tan}^{-1}(2)) \end{eqnarray*}$ Mit Taschenrechner ist das natürlich kein Problem ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ wie stelle ich das an ohne den TR zu benutzen?

Meine Ideen:
Ich habe die Funktionswerte für spezielle Winkel. Z.B tan(45°) = 1, wie aber komme ich jetzt auf $\begin{eqnarray*} \mathrm{tan}(x)=2 \end{eqnarray*}$ ? oder $\begin{eqnarray*} \mathrm{tan}(x)=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
Gleiches Problem habe ich wenn ich den Arcustangens der Sinus funktion "übergebe", wie muss ich diese umformen um zuletzt auf den nummerischen Wert zu kommen? Leider habe ich nicht mehr Ideen wie man das Problem anpacken sollte.

Wäre super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte smile

Gruss
Mario

12.07.2010, 21:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ .

Versuch doch in einem ersten Schritt, $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ darzustellen - hauptsächliche Hilfsmittel dazu sind $\begin{eqnarray*} \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ sowie der trigonometrische Pythagoras $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

12.07.2010, 21:44

M.Staan

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Rückmeldung Arthur Dent

Ich habe mir zu deinem Beitrag folgendes überlegt.
$\begin{eqnarray*} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(x)\cdot \cos(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(x)\cdot \sqrt{1-\sin^{2}(x)}=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(x)\cdot\sqrt{1-(1-\cos^2(x))}=\sin(x) \end{eqnarray*}$

Aber da dreh ich mich im Kreis verwirrt

Laut Wikipedia wäre die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$

Mich wurmt aber dass ich das nicht selbst umformen kann. Ich sehe aber keine Möglichkeit den Sinus nur mithilfe der Tangens Funktion auszudrücken. Mir fehlt hier die entscheidende Idee?!

Danke,
Mario

12.07.2010, 21:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Du warst doch auf dem richtigen Weg:

Zitat:

Original von M.Staan
$\begin{eqnarray*} \tan(x)\cdot \sqrt{1-\sin^{2}(x)}=\sin(x) \end{eqnarray*}$

Das ist (vom Vorzeichen her) zumindest für $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ richtig, und mehr brauchen wir hier nicht.

Quadriere das ganze, und stelle die erhaltene Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ um.

12.07.2010, 22:18

M.Staan

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur!

Wieder ein Stück weiter!

$\begin{eqnarray*} \tan(x)\cdot \sqrt{1-\sin^2(x)}=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot 1-\sin^2(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)=2\cdot \sin^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\tan^2(x)}{2}=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$
Um $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ zu erhalten noch die Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} \frac{\tan(x)}{\sqrt{2}}=\sin(x) \end{eqnarray*}$

Was ich da ausgerechnet habe ist alles aber sicher nicht richtig Hammer

Ich steh wirklich aufm Schlauch. unglücklich

Danke,
Mario

12.07.2010, 22:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von M.Staan
$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot 1-\sin^2(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

Ich bin ja hier im Board schon berüchtigt als nervender Prediger, wie wichtig doch Klammern sind. Danke, dass du mir neues Anschauungsmaterial lieferst, was so passieren kann, wenn man die Klammern vergisst.

Also: Mit

$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot (1-\sin^2(x)) =\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

geht's von hier ab weiter.

12.07.2010, 22:59

M.Staan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Danke, dass du mir neues Anschauungsmaterial lieferst, was so passieren kann, wenn man die Klammern vergisst.

Mmmmh schon fast peinlich...

$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot (1-\sin^2(x)) =\sin^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan^2=\frac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}} \end{eqnarray*}$

Letztendlich muss ich mir ja immer die Frage stellen wie dass mir das jetzt von Nutzen ist weil ich ja nur weiss dass tan(x)=2 aber das x werde ich nie "exakt" bestimmen können da ich den TR nicht benutzen darf.

Denkpause...
$\begin{eqnarray*} \tan(x)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Aber sehe gerade dass ich die Gleichung nach Tangens und nicht Sinus aufgelöst habe. Auflösen nach Sinus gibt aber nichts schlüssiges?!

$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot (1-\sin^2(x)) =\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)-\tan^2(x)\cdot-\sin^2(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)-\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-1 \end{eqnarray*}$

Ist anständig ausgedrückt nur Käse! Kann doch nicht so schwer sein traurig

Danke,
Mario

12.07.2010, 23:09

Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich gesagt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
und stelle die erhaltene Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ um.

Was machst du: Ein paar kleine, ziellose Umformungen, und dann stellst du nach $\begin{eqnarray*} \tan^2(x) \end{eqnarray*}$ um - es ist unfassbar. Finger1

Ist das denn wirklich sooooo schwer?

$\begin{eqnarray*} \tan^2(x)\cdot (1-\sin^2(x)) &=& \sin^2(x) \\ \tan^2(x) - \tan^2(x)\sin^2(x) &=& \sin^2(x) \\ \tan^2(x) &=& \sin^2(x)+\tan^2(x)\sin^2(x) \\ \tan^2(x) &=& \sin^2(x)(1+\tan^2(x)) \\ \frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} &=& \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

Gute Nacht - das halte ich nervlich hier nicht durch.

12.07.2010, 23:24

M.Staan

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ist das denn wirklich sooooo schwer?

Für mich ja unglücklich

Beim Umformen habe ich den Schritt mit dem Ausklammern partout nicht gesehen neben zahllosen andern Fehlern. Umformen liegt mir definitiv nicht Forum Kloppe

Zitat:

Original von Arthur Dent
Gute Nacht - das halte ich nervlich hier nicht durch.

Ja Jute Nacht - muss ich deinen Nerven wohl etwas Ruhe gönnen.

Danke,
Mario

Neue Frage »

Antworten »

Trigonometrische Funktionen numerisch auswerten

Verwandte Themen