Schätzfunktion, erwartungstreuer Schätzer

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Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzfunktion, erwartungstreuer Schätzer
Hallo,

Es geht um eine mathematische Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit der Dichte ().

Den Erwartungswert für hab ich auf berechnet.

Nun sollte ich nach der Maximum-Likelihood-Methode und nach der Momentenmethode 2 Schätzer für den unbekannten Parameter berechnen, und hab raus

für Likelihood und
für Momentenmethode.

Die Rechnung dazu dauert ziemlich lange zum posten, deswegen lass ich sie erstmal weg. Notfalls liefer ich sie nach.

Nun soll geprüft werden, ob diese Schätzer erwartungstreu sind.
Dazu muss ich doch überprüfen, ob , oder?

Ich bekomme für beide Schätzer raus, dass sie nicht erwartungstreu sind, denn es entstehen die Widersprüche

für Likelihood und
für die Momente.

Und nun endlich zu meinem Problem:

Angenommen, meine Rechnungen stimmen, wird nun gefragt, wie die Schätzfunktion geändert werden müsste, damit man einen erwartungstreuen Schätzer erhält.

Ich weiß nicht, was ich hier tun soll.

Ich kann doch schlecht etwas an der Definition der Likelihoodfunktion ändern und auch nicht die Momentenmethode abwandeln.
Was ist eigentlich meine Schätzfunktion?

Wäre schön, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann.

Dankeschön.

LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzfunktion, erwartungstreuer Schätzer
Zitat:
Original von Max Simon
Nun soll geprüft werden, ob diese Schätzer erwartungstreu sind.
Dazu muss ich doch überprüfen, ob , oder?

Erwartungstreue bezieht sich stets auf irgendeinen Parameterwert - und der sollte dann immer mit dazu genannt werden.

In Fällen wie hier, wo es nur den einen Parameterwert gibt, wird meist stillschweigend vorausgesetzt, dass sich die Erwartungstreue auf diesen einen Parameter bezieht.

Kurzum: Es geht hier nicht um , sondern um .

In deinem Fall ist also der zweite Schätzer bereits erwartungstreu.


Zitat:
Original von Max Simon
Ich kann doch schlecht etwas an der Definition der Likelihoodfunktion ändern

Nichtsdestotrotz kannst du die Schätzfunktion ändern - du darfst sie dann nur nicht mehr Likelihood-Schätzer nennen. Augenzwinkern
 
 
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzfunktion, erwartungstreuer Schätzer
Oh, da hab ich ja was noch nicht ganz verstanden gehabt. Der erste Schätzer ist dann ja auch asymptotisch erwartungstreu.

Zu dem hab ich nun noch eine andere Frage, um mich zu vergewissern:

Um zu bestimmen kann ich doch auch bestimmen, für die neue Zufallsvariable . Diese beiden Erwartungswerte müssten doch gleich sein, oder?
(Was mich daran irritiert: Wenn ich das Minimum meiner Stichprobe betrachte, hab ich nur endlich viele Werte, hingegen kann alle Werte zwischen annehmen. ist somit diskret, während stetig ist. Wie berechne ich da nun den Erwartungswert (also ist das eine Summe oder ein Integral?). Oder ist ?)

Um die Änderung der Schätzfunktion kümmer ich mich nachher.

Danke dir.

LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: ist ebenfalls eine stetige Zufallsgröße, es ist ja laut deiner Festlegung dasselbe wie .

Anscheinend bringst du da was durcheinander mit der Endlichkeit der Stichprobe - das eine hat mit dem anderen nicht das geringste zu tun.


Wahrscheinlich geht's um den Unterschied:

Erwartungstreue
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich den Artikel jetzt richtig verstanden habe, ist bei mir meine Schätzgröße und ein einzelner Schätzwert, der natürlich bei jeder Stichprobe anders sein kann.

Um jetzt die Erwartungstreue des Schätzers bzgl. nachzuprüfen, muss ich schauen, ob

.
( muss ich natäürlich erst noch bestimmen.)

Wenn die Gleichheit gilt, ist der Schätzer erwartungstreu.
Aber ist dann oder erwartungstreu?
Also ist mein Schätzer der Schätzwert oder die Schätzgröße?
Ich vermute mal die Schätzgröße, denn von der hab ich ja den Erwartungswert bestimmt.

Da ich auch in meiner ersten Rechnung mich (unsicher) für den stetigen Fall entschieden hab, sollte wenigstens mein Ergebnis stimmen.


Mein ist also nicht erwartungstreu, denn .
Dann wäre aber erwartungstreu.
Folglich muss ich meine Likelihood-Funktion so ändern, dass die neue Funktion dann maximal wird für den Schätzer .

Wenn ich mir das dann richtig überlege, müsste dann folgendermaßen aussehen:

.

Kann das so stimmen?

Danke.
LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Ahnung, was du jetzt bezweckst:

Formelmäßig sind bei dir identisch, aber verbal versuchst du irgendwelche Unterschiede herbeizureden - das verstehe wer will.

Jedenfalls ist es völliger Humbug, von Erwartungstreue eines einzelnen Schätzwertes zu sprechen (siehe oben verlinkter Thread): Erwartungstreue macht nur für Schätzfunktionen Sinn, weil nur das Zufallsgrößen sind - die konkreten Schätzwerte sind nur Zahlen!!!


Leider gibt es in dieser doch sehr wichtigen Frage überhaupt keinen symbolischen Konsens: Jede Vorlesung macht da, was sie will, rein auf Symbolbasis kann man sich da also auf nichts verlassen, sondern muss schon das Umfeld abgrasen, was denn nun genau gemeint ist.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Formelmäßig sind bei dir identisch

Nein, die sind nicht identisch, denn es ist , aber .
Die Frage ist, was das für einen Unterschied für die Erwartungstreue macht.

Zitat:
rein auf Symbolbasis kann man sich da also auf nichts verlassen, sondern muss schon das Umfeld abgrasen, was denn nun genau gemeint ist.


Genau das versuch ich :-)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max Simon
Nein, die sind nicht identisch, denn es ist

Ach so, da hab ich das falsch gelesen. Bzw., gar nicht für möglich erachtet, denn wie ich schon gesagt habe, ist die Betrachtung der Erwartungstreue für einen bloßen Schätzwert - also eine Zahl, wie es dein nun mal bloß ist - völliger Humbug.


Du solltest deine Symbole also mal sortieren, nach Zufallsgrößen (Schätzfunktionen, Teststatistiken, oder wie sonst man sie nennen mag) auf der einen Seite, sowie konkreten Schätzwerten als Zahlen auf der anderen Seite. In deinem Eröffnungsbeitrag geht da jetzt bei näherer Betrachtung vieles durcheinander.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann versuch ich das mal zu sortieren:

Wenn ich einen Schätzer z.B. nach der Miximum-Likelihood-Methode bestimme, so erhalte ich doch aber eine Zahl, ausgehend von meiner Stichprobe. Bei uns heißt dieser Punktschätzer.

Die Aufgabe ist zunächst: Bestimmen Sie einen Punktschätzer für den Parameter nach der ML-Methode und nach der Momentenmethode.

Hier hab ich dann raus, dass

für ML und für Momente.
Dies sind bei mir erstmal beides Zahlen. Das muss doch aber auch so sein, oder?
Maximum-Likelihood und auch Momente liefert mir doch eine solche Zahl, oder etwa nicht?

Vielleicht klären wir das erstmal bis hierhin.

Um die Erwartungstreue zu beurteilen, muss ich nun die zugehörige Schätzgrößen, also und betrachten und deren Erwartungswert bestimmen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend reden wir in verschiedenen Begriffsuniversen: Du in deinem, ich in meinem. Irgendwie habe ich nicht mehr die Kraft, das hier auszuhalten.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Dabei versuche ich doch, meine Fragen präzise zu formulieren. unglücklich

Vielleicht kannst du mir noch die 2 Fragen beantworten:

1. Liefert die Maximum-Likelihood-Schätzmethode eine Zahl oder eine Zufallsvariable?
2. Wenn wir die Begrifflichkeiten mal außer Acht lassen, kannst du dir mal bitte meine Änderung der Schätzfunktion anschauen, ob das so sinnvoll bzw. richtig ist.
Betrachte an der Stelle als entsprechende Zufallsvariable (damit man auch den Erwartungswert betrachten kann).

Aber trotzdem Danke für deine Bemühungen.
Ich glaube eigentlich, dass ich es verstanden hab, aber ich scheine meine Gedanken nicht richtig in Worte fassen zu können.

Danke für deine Bemühungen!

LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max Simon
1. Liefert die Maximum-Likelihood-Schätzmethode eine Zahl oder eine Zufallsvariable?

Weder noch: Sie liefert erstmal nur eine sogenannte Stichprobenfunktion , wobei der Stichprobenumfang ist und der Beobachtungsraum (d.h. die Werte, die die beobachtete Zufallsgröße annehmen kann).

Dann ist der Schätzer: Eine Zufallsgröße, von der man dann all die Eigenschaften wie Erwartungstreue, Konsistenz, usw. betrachten kann.

Und dann ist da noch , der Schätzwert: Das ist dann eine Zahl, die man erhält, wenn man die konkrete Stichprobe in die o.g. Stichprobenfunktion einsetzt.

Das ist alles Sache der Vorlesung, sowas zu erläutern, und mich kostet es echt Überwindung, hier die absolut notwendigen Grundlagen der Statistik deklamieren zu müssen. unglücklich
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das ist alles Sache der Vorlesung, sowas zu erläutern, und mich kostet es echt Überwindung, hier die absolut notwendigen Grundlagen der Statistik deklamieren zu müssen. unglücklich

Das mag ja sein, doch wenn man immer alles verstehen würde, was in der Vorlesung vermittelt wurde, wäre dieses Forum wohl überflüssig.

Wer aber noch Verständnisprobleme hat - und das betrifft nunmal meist den Umgang mit Begriffen, die so ähnlich und doch unterschiedlich sein können, wie Stichprobe und mathematische Stichprobe - für den ist doch dieses Forum da.
Und man ist sehr froh darüber, wenn einem Hilfestellungen und Erklärungen gegeben werden.

Das hast du ja bei mir auch getan. Freut mich, dass du dich dazu überwinden konntest.

Ich meine, die Begriffe in meinem Kopf nun so sortiert zu haben, dass es passt.


Ob man allerdings das mit der geänderten Schätzfunktion so machen kann, weiß ich nicht genau.

Vorher hatte ich die Schätzfunktion (Likelihood-Funktion)

,

welche mir einen nicht erwartungstreuen Schätzer geliefert hat.

Um diesen Schätzer erwartungstreu zu machen, verändere ich die Funktion nun zu

.

(Von beiden Funktionen wird das Maximum gesucht, um den Schätzer zu erhalten.)

Darf ich das so machen bzw. ist meine neue Funktion eine Schätzfunktion?

LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weiß nicht was das bringen soll?

(Die Likelihoodfunktion selbst ist keine Schätzfunktion, da bist du im Irrtum.)

Wie wäre es, einfach den Unterschied vom ML-Schätzer abzuziehen, und damit den Schätzer erwartungstreu zu machen? D.h.,

Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

genau, das muss als Schätzer rauskommen, denn dieser ist dann erwartungstreu.

Aber die Frage, die ich hier vor mir hab, ist:
Wie muss die Schätzfunktion geändert werden, um einen erwartungstreuen Schätzer zu erhalten?

Dazu muss ich doch in die Likelihood-Funktion gehen.
Allerdings hab ich unten an der Verteilungsdichte rumgeschraubt, was sicherlich nicht erlaubt sein wird.

Was das bringen sollte?
Das Maximum dieser neuen Funktion wird eben angenommen für .

Aber ich hab keine wirkliche andere Idee.

Obwohl:

Vielleicht hab ich die Dichte ja gar nicht verändert, sondern einfach gerechnet

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß wirklich nicht, welche ideologischen Probleme du mit der schlichten Änderung

Zitat:
Original von Arthur Dent

hast - mathematischen Gründe gibt es keine.

Es ist kein Likelihood-Schätzer, und wird auch mit sonstwelchen Manipulationen keiner werden, denn der ist EINDEUTIG das nicht erwartungstreue

.


Oder gehst du bei einer quadratischen Gleichung, deren Lösung dir "nicht gefällt" auch so vor, nachträglich die Koeffizienten zu manipulieren??? Das ist irgendwie unverständlich unseriös, was du hier treibst. unglücklich
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab doch keine Probleme mit diesem Schätzer .

Dummerweise hab ich hier aber nicht die Frage

Wie muss der alte Schätzer verändert werden, damit er erwartungstreu ist?

sondern

Wie muss die Schätzfunktion verändert werden, damit sie einen erwartungstreuen Schätzer liefert?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und?

Achso, ich verstehe: Du meinst, mit Schätzfunktion ist die Likelihoodfunktion gemeint? Dass du damit auf dem Holzweg bist, habe ich doch nun hinreichend oft deutlich gemacht - wie oft soll ich das deiner Meindung nach denn noch machen? unglücklich
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst du nicht mehr machen.

Ich habs kapiert, glaube ich.

Schätzer und Schätzfunktion ist doch dasselbe.

Dies ist mir aber nicht aufgefallen, wenn nur von die Rede war.
Da ja aber von abhängig ist, also , ist auch eine Schätzfunktion.

Ich hatte einfach nur das Problem, zwischen Schätzer, Schätzwert, Schätzgröße und Schätzfunktion zu unterscheiden bzw. zu erkennen, was dasselbe ist und worin die Unterschiede bestehen.

Im Nachhinein hätte eine Erklärung dafür diesen Threat wesentlich verkürzen können.
Aber so haben mich viele Beiträge zunächst nur noch mehr verwirrt, wie man gemerkt hat.

Jetzt ist mir das Ganze aber relativ klar geworden, denke ich.

Also nochmal Danke dafür, dass du dich überwinden konntest.

LG Max
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max Simon
Im Nachhinein hätte eine Erklärung dafür diesen Threat wesentlich verkürzen können.

Da hast du wohl Recht. Allerdings ist mir eine Manipulation der Likelihoodfunktion so unfassbar abseitig vorgekommen, dass ich nicht im Traum daran gedacht habe, dass jemand auf eine solche (Verwechslungs-)Idee kommen könnte.
Max Simon Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Likelihood-Funktion ist die Funktion, welche mir einen Schätzer liefert.
Deswegen war es für mich die Schätzfunktion.
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