Kurvenintegrale - Parametrisierung

13.07.2010, 15:33

TB

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Kurvenintegrale - Parametrisierung

Bei Kurvenintegralen habe ich noch einige Problemchen mit der Parametrisierung
Zum Glück ist alles im 2dimensionalen Raum, sonst hätte ich erst Recht Probleme.

Als Beispiel habe ich folgendes

eine Gerade von 0,0 bis 1,1
eine Gerade von 1,1 bis 1,-1
eine Gerade von 1,-1 bis 0,0

als Variable habe ich t genommen:

$\begin{eqnarray*} &&\vec{x_1} = \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, 0<t<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} && \vec{x_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2t \end{pmatrix} \, 0<t<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} && \vec{x_3} = \begin{pmatrix} -t \\ -t \end{pmatrix} \, 0<t<1 \end{eqnarray*}$

bin aber ziemlich unsicher bei dem was ich aufstelle... unglücklich

unglücklich

ich hofe ihr könnt mir helfen und sagen was es zu beachten gibt...
sonst kann ich ziemlich alles, was mit Kurvenintegralen zu tun hat.

13.07.2010, 15:49

Cel

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Das ist ein bisschen schief gegangen. Setz doch mal ein. Zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ . Da sollten an den Enden des Intervalles die Punkte (1,1) und (1,-1) rauskommen. Aber $\begin{eqnarray*} \vec{x_2}(0) = (1,0)^T \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{x_2}(1) = (1,-2)^T \end{eqnarray*}$

Mach es so, wie du es in der analytischen Geometrie machen würdest: Bestimme eine Gerade, die in (1,1) beginnt und nach (1,-1) zeigt. Dafür nimmst du (1,1) als Stützvektor und musst nur noch einen passenden Richtungsvektor finden.

13.07.2010, 19:16

TB

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okeeeeeee.

wenn ich das mit deinem ersten tipp richtig biegen sollte: würde ich dann folgendes herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} &&\vec{x_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und denn dementsprechend korrigiert
$\begin{eqnarray*} &&\vec{x_3}=\begin{pmatrix} -t+1 \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und der zweite tipp. ich denke,das ist ein wichtigerer TIpp, da der bestimmt auch gelten würde, wenn das nicht Geraden sind.

Ich nehme eine Gerade, die in (1,1) beginnt (Stützvektor) und dann nach (1,-1) geht:
$\begin{eqnarray*} &&g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Und wenn ich dann tatsächlich das nicht als Gerade ansehe sondern direkt die Vektoren komponentenweise addiere erhalte ich das, was ich weiter oben stehen habe... (jetzt muss das nur noch richtig sein :P)

Aber dann stellt sich die Frage, wie beschreibe ich dann sowas wie:

Zitat:

von (1,1) auf einer Parabel zurück zum Usprung

(ist eine andere Aufgabe ^^)

13.07.2010, 19:39

Cel

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Gut, gut ... Achte aber immer darauf, von wo bis wo t laufen muss. Bei $\begin{eqnarray*} \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ muss t von 0 bis 2 laufen. Du kannst das alles auch so biegen, dass du immer größere Werte für t einsetze musst. Also fürs erste Teilstück von 0 bis1 und fürs zweite 1 bis 2 ... usw. Geht aber auch so, wie du es gemacht hast.

Zu deiner Parabel. Na ja, so etwas kann man immer sehr schön parametrisieren. Immerhin musst du auf der Linie der Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ laufen.

Kleines Problem: Der Weg $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = (t, t^2)^T ~t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ läuft vom Nullpunkt aus zu (1,1).

Hättest du eine Idee, wie man das gerade biegen kann? Was weisst du über Parametrisierung im Zusammenhang mit Wegintegralen? Die obige Art parametrisiert zwar die Menge $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ richtig, sie wird aber falsch durchlaufen ... Hmmm ...

13.07.2010, 19:54

TB

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ok
das mit 0<t<2 für den zweiten Vektor hätte ich jetz glatt übersehen bei meiner Probe -
wäre mir aber hoffentlich dann in der Klausur nicht unterlaufen :P

ja gut zur Parabel: ok dass dann
$\begin{eqnarray*} \vec{\gamma}=(t,t^2)^T \end{eqnarray*}$

klappt ja nur, weil das vom Ursprung zur dem Punkt t=1 verläuft... ziemlich leicht also.
Da aber laut Aufgabenstellung das vom Punkt (1,1) zum Ursprüng zurückläuft werde ich also ein negatives Vorzeichen nehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bzw das Integral zur Kurvenintegralberechnung mit dem negativen Vorzeichen versehen smile

smile

- alternativ lassen sich auch einfach die Grenzen vertauschen.

13.07.2010, 20:10

Cel

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Ah, stopp, stopp. Ich habe gerade meine Ana II - Mitschrift herausgekramt und das, was wir hier besprechen, stimmt nur zu 50 %. Von welchem Wegintegral sprechen wir? Es gibt zwei:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}f ds \end{eqnarray*}$ (Wegintegral erster Art)

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}f \cdot dx \end{eqnarray*}$ (Wegintegral zweiter Art)

Wiki weiss näheres.

Wenn wir jetzt die Orientierung umkehren, also statt $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} \gamma(-t) \end{eqnarray*}$ betrachten (Intervallgrenzen ebenfalls mit -1 multiplizieren), und den neuen Weg mit $\begin{eqnarray*} \gamma^{-} \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}f ds =\int_{\gamma^{-}}f ds \end{eqnarray*}$ Hier ist die Orientierung also egal.

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}f \cdot dx = - \int_{\gamma^{-}}f \cdot dx \end{eqnarray*}$ Beim Wegintegral zweiter Art brauchst du also das Minus.

Jetzt musst du gucken, um welches Integral es geht und dementsprechend das Minus dazu schreiben oder nicht.

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13.07.2010, 20:17

TB

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Ich hab leider gar keine Ahnung wovon du sprichst :O
in meinen Mitschriften finde ich nichts dazu und in den skripten und in dem Mathebuch was wir benutzen sollen (Papula) steht auch nichts wirkliches dazu.

Ich vermute aber mal dass das Wegintegral zweiter ARt das Richtige ist, da die Wegrichtung eine Rolle spielt (und etwas mit Richtung hatten wir :P)

Sprich:
$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\gamma} \! K(x) \, dx = - \int_{\gamma} \! K(x)\, dx \end{eqnarray*}$

so hatten wir das stehen, aber dass das auch so heißt, wie du das hier stehen hast...kein Plan unglücklich

unglücklich

aber ist das denn jetzt relevant?
Ich hatte vor einfach das Integral zu bilden und dann ein Minus davor zu setzen :P

13.07.2010, 20:51

Cel

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Wenn es tatsächlich um das Integral 2. Art geht, dann darfst du das so machen. Beachte: Bei einem Integral zweiter Art brauchst du eine Funktion vom R^n nach R^n. Liegt bei deinen Aufgaben eine solche vor? Schreib am besten mal ein Beispiel auf, dann sehen wir ja.

13.07.2010, 21:31

TB

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Hmm

ich denke ich habe es hier mit R² zu tun, da ja nur x,y vorkommen :P
und auch danach sind es nur R² ...

ehrlich gesagt haben mich die Fragen am Ende mehr verwirrt :P ich dachte ich hätte es bereits verstanden ^^

13.07.2010, 21:37

Cel

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Habt ihr noch keinerlei Beispiele dazu gerechnet? Wenn ja, dann gib einfach mal ein f an, das ihr benutzt habt. Dann sieht man sofort, um welche Art Integral es geht.

13.07.2010, 22:09

TB

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naja ich hab ja schon die Aufgaben im exakten Wortlaut gezeigt die wir gemacht haben...
ansonsten kann ich noch eine aus dem Skript nehmen:

Zitat:

Gegeben sei das Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} &&K(x)=\begin{pmatrix} x_1^2 x_2 \\ x_1 x_2^2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
Das Kurvenintegral soll entlang einer Geraden C1 berechnet werden, die die Punkte (0,0) und (2,1) verbindet

Ansonsten noch vielleicht die aktuelle Übung (die ich auch nciht lösen kann :P)

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{f}: \mathbb R ^3 \ {0} \Rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \vec{f}(\vec{x})= \frac{1}{||\vec{x}||^3} \vec{x} \end{eqnarray*}$ .
Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} \vec{K} (t) \left( cos(t), sin(t), 2sin(\frac{1}{2}t) \right)^T \end{eqnarray*}$ eine Kurve mit $\begin{eqnarray*} t \in \left[0,4\pi \right] \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Kurvenintegral von $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ entlang $\begin{eqnarray*} \vec{K}(t) \end{eqnarray*}$

Die erste kann ich mit dem bisherigen Wissen lösen...
nur die Zweite... da hab ich das dumpfe Gefühl, dass einiges nicht so leicht ausschaut...

Mein Ansatz
$\begin{eqnarray*} &&d\vec{K}(t)=\begin{pmatrix} -sin(t) \\ cos(t) \\ cos(\frac{1}{2}t)\end{pmatrix}dt<br /> && \end{eqnarray*}$

Um dann das f(x) zu errechnen, was in die Formel eingesetzt wird, müsste ich das K(t) ja dann in das f(x) einsetzen... da ich mir nich sicher bin wollt ich noch mal nachfragen, bevor ich das rechne und das dann falsch ist :P
[latex]&&

13.07.2010, 23:08

Cel

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Zitat:

Original von TB

Zitat:

Gegeben sei das Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} &&K(x)=\begin{pmatrix} x_1^2 x_2 \\ x_1 x_2^2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
Das Kurvenintegral soll entlang einer Geraden C1 berechnet werden, die die Punkte (0,0) und (2,1) verbindet

Und was kommt raus? Hoffentlich 5/2, sonst musst du mir den Weg zeigen, nachher ist das etwas, das ich gar nicht kenne. Gehe ich aber nicht von aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Ansatz für die zweite sieht gut aus, beachte beim Nenner von f auch meine Signatur. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.07.2010, 23:30

TB

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jop
laut Skirpt kommt auch 5/2 raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok dann würde ich die zweite auch mal durchrechnen...wenn der Ansatz shcon gut war :P

Als nächstes hätte ich jetzt die f_1 bis f_3 bestimmt...
aber in der Konvention sind das ja die partiellen Ableitungen. So wie ich das Skript vrstehe, setzt man hier jeweils komponentenweise den Vektor der parametrisierten Kurve ein...x

Ich entscheide mich für Letztesres und habe dann das Problem, dass da im Nenner der Betrag des Vektors steht...Diesen muss ich jetzt also für jeden Komponenten errechnen:

$\begin{eqnarray*} &&<br /> &&\vec{f_1}(\vec{x})= \frac{1}{||\vec{x}||^3} cos(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> &&\vec{f_2}(\vec{x})= \frac{1}{||\vec{x}||^3} sin(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> &&\vec{f_3}(\vec{x})= \frac{1}{||\vec{x}||^3} 2sin(\frac{t}{2})<br /> \end{eqnarray*}$

was ich mich gerade Frage, warum sind da eigentlich 2 Betragsstriche???

$\begin{eqnarray*} <br /> &|\vec{x}|=\sqrt{cos^2(t)+sin^2(t)+4sin^2(\frac{t}{2})}<br /> &&=\sqrt{1+4sin^2(\frac{t}{2})}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$
aber die Wurzel kann ich trotzdem nicht lösen...
kann es aber sein dass ich das Vektorfeld f nicht korrekt interpretier? unglücklich

unglücklich

13.07.2010, 23:42

Cel

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So, wie du es machst, stimmt es. Mit partiellen Ableitungen hat das nichts zu tun, auch konventionsmäßig nicht. Es bedeutet einfach, dass f aus Komponentenfunktionen besteht.

Dass da zwei Striche stehen - manchmal schreibt man Normen so, ist wieder eine Sache der Schreibart. Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} f(K(t)) \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Du musst jetzt folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{4 \pi} \begin{pmatrix}\frac{1}{||\vec{x}||^3} cos(t) \\ \frac{1}{||\vec{x}||^3} sin(t) \\ \frac{1}{||\vec{x}||^3} 2sin(\frac{t}{2})\end{pmatrix} \cdot \vec{K}'(t) dt<br /> \end{eqnarray*}$

lösen. Das mal in dem Integral ist das Standardskalarprodukt. Rechne das mal aus, es fällt viel weg. Ausserdem steht nachher schon eine schöne innere Ableitung des Nenners im Zähler.

Ich gehe jetzt schlafen, aber morgen komme ich wieder. Versprochen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.07.2010, 00:10

TB

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oke , na dann auf gehts:
ich habe dann Skalamultipliziert und die ersten beiden Terme addieren sich zu Null. der übrig bleibende Term ist folgender, der von mir gerade errechnete Betrag schreibe mich bereits 3 potenziert hin:

$\begin{eqnarray*} &&\int_0^{4 \pi} \! \frac{2sin \left( \frac{t}{2} \right) cos \left( \frac{t}{2} \right)}{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right) \sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)}} \, dt<br /> \end{eqnarray*}$

Ok der Tipp war ja dann, Integration mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} u(t) = \sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> &&du=\frac{8 sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2}) \cdot 0,5}{2 \cdot \sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)}}dt<br /> &&du=\frac{2 sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})}{\sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)}}dt<br /> \end{eqnarray*}$
das ganze nach dt und nicht nach du aufgelöst ... und dann in die Integration eingesetzt:
(kürzt sehr viel weg)
$\begin{eqnarray*} <br /> &&\int_a^{b} \frac{1}{1+4sin^2(\frac{t}{2})} \, du<br /> \end{eqnarray*}$
wenn mich nicht alles täuscht... darf ich den restlichen Nennerterm annehmen als u²
und setze das dann so ein:

$\begin{eqnarray*} <br /> &&\int_a^{b} \frac{1}{u^2} \, du<br /> &&\left[ -\frac{1}{u} \right]^{b}_a<br /> \end{eqnarray*}$

bevor ich aber weitermache...hoffe ich doch, dass das bisher gemacht ales richtig ist...Integration mit Substituion hab ich nur noch so lala im Kopf ... (kann aber zum Glück auch bis morgen warten) :P

14.07.2010, 10:31

Cel

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Erst mal machst du gut mit, finde ich gut! Freude

Freude

Du substituierst zu kompliziert. Suche dir immer eine Substitution, die "leicht" ist, schließlich wollen die Leute, dass du die Aufgabe auch löst.

Hier führt die Substitution

$\begin{eqnarray*} u = 1 + 4 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) \end{eqnarray*}$ zum Ziel. Lass die Grenzen erst mal weg und bestimme eine Stammfunktion.

Noch was - im neuen Integral ist sowohl die Variable = u und hinten steht du. Das ist bei deiner Rechnung nicht der Fall. Durch meine Substitution wird das alles schön einfach. Schau mal, ob's was wird.

14.07.2010, 13:24

TB

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hmm
bei mir steht doch hinten auch du und ein u ist auch in der "neuen" integrationsfunktion drin ... ich hab das ja noch als Kommentar hingeschrieben^^

$\begin{eqnarray*} &&\int_0^{4 \pi} \! \frac{2sin \left( \frac{t}{2} \right) cos \left( \frac{t}{2} \right)}{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right) \sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)}} \, dt<br /> \end{eqnarray*}$

nungut...wenn ich jetzt das substituiere was du vorgeschlagen hast, komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} &&u(t)=1+4sin^2(\frac{t}{2})<br /> &&\frac{du}{dt}=8sin(\frac{t}{2})cos(\frac{t}{2})\frac{1}{2}<br /> &&du=4sin(\frac{t}{2})cos(\frac{t}{2})dt<br /> &&\frac{du}{4sin(\frac{t}{2})cos(\frac{t}{2})}=dt \end{eqnarray*}$

und wenn ich jetzt u einsetze und dt substituiere und in die Urpsrungsfunktion einsetze:

$\begin{eqnarray*} &&\int_a^{b} \! \frac{2sin \left( \frac{t}{2} \right) cos \left( \frac{t}{2} \right)}{u \sqrt{u}} \, \frac{du}{4sin(\frac{t}{2})cos(\frac{t}{2})}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} &&\int_a^{b} \! \frac{du}{2 u \sqrt {u}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

na ob das bisher alles richtig ist ---weiß ich wenn das Licht angeht... :O

edit: ahso habe ich das mit dem Betrag überhaupt richtig gemacht? unglücklich

unglücklich

14.07.2010, 15:40

Cel

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Freude

Grünes Licht! Steht auch auf meinem Zettel. Dann kannst du jetzt weitermachen.

14.07.2010, 16:34

TB

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ok top...
aber da hänge ich auch...ka wie ich das weiter integrieren würde ^^

aber Wolfram Alpha hat mir geholfen und ich komme auf das hier :P:P:P:
$\begin{eqnarray*} &&\int_a^b \! \frac{du}{u \sqrt{u}} =<br /> &&\left[ -\frac{1}{\sqrt {u}} \right]^b_a=<br /> &&\left[ -\frac{1}{\sqrt{1+4sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)}}\right]^{4\pi}_0=<br /> &&-\frac{1}{\sqrt{1+4sin^2(2\pi)}}+\frac{1}{\sqrt{1+4sin^2(0)}}=<br /> &&-1+1= 0 \end{eqnarray*}$

ohmann jetzt kommt einfach 0 am Ende heraus unglücklich

unglücklich

aber warum stimmt denn der erste Ansatz nicht?
im Prinzip steht da ja in etwa das gleiche nur dass dann im Nenner u² steht anstatt dem was da jetzt steht...

$\begin{eqnarray*} <br /> &&\int_a^{b} \frac{1}{u^2} \, du<br /> &&\left[ -\frac{1}{u} \right]^{b}_a<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> &&\left[ -\frac{1}{u} \right]^{b}_a<br /> &&\left[ -\frac{1}{\sqrt{1+4sin^2(\frac{t}{2})}} \right]^{4\pi}_0=<br /> &&-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0 \end{eqnarray*}$

hätte ich hier ja das gleiche raus...

14.07.2010, 18:49

Cel

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Ich muss sagen, dass ich deinen ersten Ansatz nach deiner Substitution verworfen habe, weil mir die Substitution zu schief erschien. Davon abgesehen:

Zitat:

Original von TB
$\begin{eqnarray*} &&\int_a^b \! \frac{du}{u \sqrt{u}} =\left[ -\frac{1}{\sqrt {u}} \right]^b_a= \dots \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, und auch Wolfram sagt da etwas anderes. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ändert aber am Ergebnis nichts, das so stimmen müsste.

14.07.2010, 19:21

TB

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komisch...
bevor ich meinen Beitrag das erste mal editiert hatte, hatte ich auch da auch
$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ stehen...
dann hatte ich das aber noch einmal nachgerechnet und es kam eben das raus, was ich da stehen hatte ^^ (hatte mich aber wohl verschaut... :P)
naja
dann käme dann halt

$\begin{eqnarray*} &&-\frac{2}{\sqrt{1+4sin^2(2\pi)}}+\frac{2}{\sqrt{1+4sin^2(0)}}=<br /> &&-2+2= 0 \end{eqnarray*}$

raus smile

smile

ok danke dir vielmals...die Aufgabe ist gelöst... :P
auch wenn die Integration ich mit dieser Substitution nicht hinbekommen hätte... Hätte evtl noch mal substituiert ^^
Aber ich bin auch froh dass mein erster Ansatz auch zum richtigen Ergebnis geführt hatte ^^

15.07.2010, 14:24

TB

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hey...ich bins nochmal
ich hab die AUfgabe jetzt einmal durchgerechnet und komm mit nem Kumpel auf unterschiedliche Ergebnisse...
und zwar geht es um folgenden Weg:

Von (1,1) auf einer Parabel zurück zum Ursprung
Die Parametrisierung hab ich folgendermaßen mit dir gemacht:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= (t, t^2)^T \end{eqnarray*}$

und dann muss ich das Integral ja mit nem negativen Vorzeichen versehen oder aber die Grenzen vertauschen:

Das zu lösenden Kurvenintegral und meine Rechnung lauten wie folgt:

$\begin{eqnarray*} &&\int_C \! y\, dx + xy \,dy<br /> &&-\int_0^1 \! \left(t^2\cdot 1 + t\cdot t^2 \cdot 2t \right)dt=<br /> &&-\int_0^1 \! \left(t^2 + 2t^4 \right)dt =<br /> &&- \left[\frac{t^3}{3}+\frac{2t^5}{5}\right]^1_0=<br /> &&- \left[ \frac{1}{3}+ \frac{2}{5} \right]<br /> \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich für den tatsächlichen Weg habe ich folgende Parametrisierung ... kann auch sein dass es falch ist, aber hab es halt genauso mit den Tipps gemacht, die du mir gegeben hast...
$\begin{eqnarray*} &&\vec{x}=\begin{pmatrix} 1-t \\ 1-t^2 \end{pmatrix}<br /> &&\int_0^1 \! \left((1-t^2)\cdot (-1) + (1-t) \cdot (1-t^2) \cdot (-2t) \right)dt=<br /> &&\int_0^1 \! \left( (t^2-1)+(1-t^2-t+t^3)(-2t) \right) dt=<br /> &&\int_0^1 \! \left( (t^2-1)-2t+2t^3+2t^2-2t^4 \right) dt=<br /> &&\int_0^1 \! \left(-2t^4+2t^3+3t^2-2t-1 \right)dt=<br /> &&\left[ -\frac{2}{5}t^5+\frac{2}{4}t^4+\frac{3}{3}t^3-\frac{2}{2}t^2-t \right]^1_0=<br /> &&-\frac{2}{5} +\frac{1}{2} + 1 -1 -1<br /> \end{eqnarray*}$
und das ergibt zusammen
$\begin{eqnarray*} &&-\frac{2}{5} +\frac{1}{2} -1=<br /> &&-\frac{9}{10}<br /> \end{eqnarray*}$

unglücklich

unglücklich

15.07.2010, 14:41

Cel

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Hey ...

nein, du hast die Umparametrisierung noch nicht ganz verstanden. Gucken wir uns mal deine beiden an.

Offenbar nicht gleich. unglücklich

unglücklich

Was tun?

Das erste Integral müsste das richtige sein, dort benutzt du den Weg

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = \begin{pmatrix}t \\ t^2 \end{pmatrix}, t \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Allerdings wird der Weg verkehrt herum durchlaufen, weswegen du ein Minus davor schreibst. Gut.

Der Weg, der anders herum läuft, aber auf der selben Linie, ergibt sich durch einsetzen von (-t) und Multiplikation der Grenzen mit (-1). Der neue Weg wäre also

$\begin{eqnarray*} \tilde{\gamma}(t) = \gamma (-t) = \begin{pmatrix}-t \\ t^2 \end{pmatrix}, t \in [-1,0] \end{eqnarray*}$

Jetzt laufen wir richtig, denn $\begin{eqnarray*} \tilde{\gamma}(-1) = (1,1)^T ~ \tilde{\gamma}(0) = (0,0)^T \end{eqnarray*}$ .

Als nochmal: Wenn du einen Weg hast, und willst ihn anders herum durchlaufen, dann setze statt t gerade (-t) ein und multipliziere das Intervall mit (-1).

Versuchs jetzt noch mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Steht die Aufgabe so auf deinem Zettel? Mir schwahnt übles ... Habt ihr was neues angefangen? Das sieht mir nämlich dieses Mal aus wie ein Wegintegral erster Art. Und dann wäre das alles falsch, was du gemacht hast.

Könntest du vielleicht die Aufgabe hochladen? Also den Zettel?

15.07.2010, 14:48

TB

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ja gut..ok
den Rechenansatz habe ich verstanden:

Rückwärts laufen:
-t für x(t) einsetzen
und die Grenzen mit (-1) multiplizieren

aber ich ginge davon aus, dass ich den ersten (und richtigen Weg) nicht gekannt habe...
und habe deshalb den zweiten Weg eben so aufgestellt wie ich ihn aufgestellt habe smile

smile

ich meine für die beiden Punkte hat die Probe ja gestimmt ^^
aber für das Integral irgendwie nicht...

Ich wollte deshalb wissen wie ich das für Parabel denn häte aufstellen sollen wenn halt nur gegeben war
(1,1) bis (0,0) ... und da habe ich eben jenen Ansatz gewähl tund mit meinen Proben hatte es gestimmt ^^

aber gut für die Zukunft merke ich mir...
ich machs vorwärts (weils so leichter ist)
und dann versetze ich das Integral mit einem Minus-Vorzeichen smile

smile

(danke für deine Geduld übrigens !

21.07.2010, 17:45

TB

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so habe die Aufgabe nochmal hochgeladen.

Meine Ergebnisse

$\begin{eqnarray*} A_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<br /> &&A_1=-(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}) \end{eqnarray*}$

21.07.2010, 18:01

Cel

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Ich rechne es auch mal durch und editiere gleich, komm also noch mal vorbei. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ich habe es auch so raus. smile

smile

Ich kannte im Übrigen die Notation nicht, du hast es richtig gemacht. Noch mal zur Richtung: Minuszeichen davor ist hier richtig.

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