Wendepunkt = Punktsymmetrie?

13.07.2010, 17:02

Fred Krake

Wendepunkt = Punktsymmetrie?

Meine Frage:
Hi Leute!

Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht zurechtkomme:
"Begründen Sie, warum im Intervall [0;8] die Graphen der beiden Funktionen f und h den gleichen Flächeninhalt mit der Gerade y = 2 einschließen. Beziehen sie die Wendepunkte beider Graphen in die Argumentation ein."

$\begin{eqnarray*} h(x)=-\cos(\frac{\pi }{8}x+1) f(x)=-\frac{1}{128}x^{3}+\frac{3}{32}x^{2} \end{eqnarray*}$

Bekannt ist, das die Graphen drei gemeinsame Punkte haben: (0/0), den Hochpunkt (8/2) und den Wendepunkt (4/1). Hm, jetzt musste ich leider in die Lösung gucken, und da steht: "Beide Graphen haben den Wendepunkt W (4/1) und sind bezüglich W punktsymmetrisch. Damit hat die Fläche von f und h über [0;4] den gleichen Inhalt wie über [4;8]."

- Kann man das denn allgemein immer so sagen?? Aber das würde doch dann oftmals nur für ausgewählte Intervalle gelten, oder? Wie kann man feststellen, innerhalb welcher Nähe zum Wendepunkt ein Graph noch punktsymmetrisch ist? Steh ich da auf der Leitung? Und weiter gehts:

"Für den Flächeninhalt bedeutet das: was der Graph von h(x) auf dem Intervall [0;4] mehr an Fläche mit y = 2 einschließt, das schließt der Graph von f(x) auf dem Intervall [4;8] mehr ein als der Graph von h".

He?? Ich weiß nicht, es ist nicht gerade höhere Mathematik, aber ich steige nicht voll dahinter. Vielleicht könnte mir jemand das einfach mal mit anderen Worten erklären??

Danke!!!

Meine Ideen:

13.07.2010, 18:06

corvus

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(x)=-\cos(\frac{\pi }{8}x+1) \end{eqnarray*}$

Bekannt geschockt

Punkte (0/0), Hochpunkt (8/2) und Wendepunkt (4/1).

deine Prophezeiungen scheinen leider nicht einzutreffen, denn ..
verwirrt

gemeinerweise mag keiner der genannten Punkte auf dem Graphen von h herumliegen.. .

.oder? ... und nun ? ..
.

13.07.2010, 18:44

Rechenschieber

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Soweit ich das beurteilen, bzw. meinem Plotter glauben kann, liegen die beiden Graphen im genannten Intervall etwa parallel, wobei die kubische Funktion mit y=2, die Kosinusfunktion jedoch mit der Abszisse genau die Flächengleichheit ergeben.

Siehe Plot

13.07.2010, 18:59

Fred Krake

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?
Hi corvus,

für (0/0) mag das daran liegen, dass h(x) abschnittsweise definiert ist, ich aber nur das eine Intervall hingeschrieben habe. Da habe ich mit den Intervallgrenzen geschludert:

$\begin{eqnarray*} h(x)=-2*cos(\frac{\pi }{8}x)+2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -4\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(x)=-cos(\frac{\pi }{8}x)+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 8 \end{eqnarray*}$

Aber (8/2) und (4/1) erfüllen doch die Funktionsgleichung, wenn man den TR auf RAD schaltet?

13.07.2010, 19:13

Fred Krake

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@ Rechenschieber:

Das ist ja komisch. Wenn ich z.B. x = 8 nehme, erhalte ich doch die Funktionswerte:

$\begin{eqnarray*} h(x)=-cos(\frac{1}{8} *\pi *8)+1=-cos(\pi )+1=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{128}*8^3+\frac{3}{32}*8^2=-4+6=2 \end{eqnarray*}$

Warum zeigt dann deine Grafik h(8) = -2 an ? Liegt es vielleicht daran, dass du in der Funktionsvorschrift das "-" vor dem Kosinus ausgeklammert hast??

13.07.2010, 19:24

corvus

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?

Zitat:

Original von Fred Krake

$\begin{eqnarray*} h(x)=-cos(\frac{\pi }{8}x)+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 8 \end{eqnarray*}$

Aber (8/2) und (4/1) erfüllen doch die Funktionsgleichung,
wenn man den TR auf RAD schaltet?

diese schon .. aber oben stand
$\begin{eqnarray*} h(x)=-\cos(\frac{\pi }{8}x+1) \end{eqnarray*}$
.. schau mal genau hin: ob du dann den kleinen - aber entscheidenden -
Unterschied erkennen kannst?
Wink

also: dein neues Angebot für h liegt dann im grünen Bereich,
erfüllt alle in h gesetzten Erwartungen.. Freude

(nebenbei: vergiss die mit Rechenschieber gemachte Grafik)
.

14.07.2010, 05:17

Fred Krake

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?
So was Blödes, sorry für die Konfusion!!
Aber kann man nun generell sagen:

"Wenn zwei Graphen in einem bestimmten Intervall I den gleichen Wendepunkt und mindestens einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen, dann schließen sie in diesem Intervall dieselbe Fläche mit einer Parallele zur x-Achse ein"? Und wenn ja, wie kann man dann I bestimmen? verwirrt

Und noch eine kleine Frage: Wann genau muss man den TR auf RAD schalten? Ich mach das immer, wenn trigonometrische Funktionen auftauchen, bei denen pi mit in der Klammer steht, aber das kommt mit ein bisschen willkürlich vor...

Grüße Wink

14.07.2010, 10:23

corvus

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?

Zitat:

Original von Fred Krake

Aber kann man nun generell sagen:

"Wenn zwei Graphen in einem bestimmten Intervall I den gleichen Wendepunkt
und mindestens einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen,
dann schließen sie in diesem Intervall dieselbe Fläche mit einer Parallele zur x-Achse ein"?
:

nein, das kann man so nicht allgemein sagen
du vergisst dabei zB wesentliche Bedingungen,
die bei deiner gegebenen Aufgabe erfüllt sind:

- die Graphen sind punktsymmetrisch zum Wendepunkt
(das ist übrigens bei jeder kubischen Parabel erfüllt - bei deiner
cos-Funktion solltest du das vielleicht auch noch verifizieren)...

- dieser Wendepunkt liegt im Mittelpunkt des fraglichen
Intervalls / des ParallelStreifens ..

usw..

Zitat:

Original von Fred Krake

Und noch eine kleine Frage:
Wann genau muss man den TR auf RAD schalten?
Ich mach das immer, wenn trigonometrische Funktionen auftauchen,
bei denen pi mit in der Klammer steht, aber das kommt mit ein bisschen willkürlich vor... unglücklich

mach das grundsätzlich immer, wenn es um trigonometrische Funktionen
und deren Graphen geht ( nicht nur, wenn pi eh im Argument herumsteht) .. Wink

14.07.2010, 17:44

Fred Krake

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RE: Wendepunkt = Punktsymmetrie?
Hi,

die Punktsymmetrie der Kosinus-Funktion zum Punkt (4/1) habe ich jetzt über
$\begin{eqnarray*} 2b-f(2a-x)=f(x) \end{eqnarray*}$
verifiziert mit a = 4 und b = 1. Das hat seeehr lange gedauert, weil ich mir die Formel erst noch aus dem Netz suchen musste und mir der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) \end{eqnarray*}$
auch total entfallen war.

Bin froh, dass ich das jetzt kapiert habe. Hast mir sehr geholfen, dankeschöööön und bis bald! smile

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