Teilmengen |
| 04.11.2006, 18:15 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Teilmengen Begründen Sie, dass jede menge mit n Elementen 2^n verschiedene teilmengen enthält. Ich habe begonnen mit: I.A: für n=1 erstmal: M={1} --> P(M) = {{},{1}} dann: 2^n --> 2^1 --> 2 also wahr I.V.: n Elemente P(M) hat 2^n Elemente sei wahr! I.S: für n+1 erstmal: M={1,2,3,...,n,n+1} 2^n I.V. dann: 2^(n+1) aber was dann? kann mir jemand helfen, von meinem Schlauch runter zu kommen? |
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| 04.11.2006, 18:35 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Teilmengen Beweis: Den Beweis führen wir "durch Induktion über n", d.h. wir zeigen, daß die Aussage für n = 0 gültig ist, und daß aus der Gültigkeit für ein beliebiges n die Gültigkeit für das nächste n, also für n+1, zwangsweise folgt. 1. Hat M 0 viele Elemente, so ist M = Æ , also P(M) = {Æ}, d.h. P(M) besitzt 1 = 20 Element. 2. Sei M jetzt eine Menge mit n+1 vielen Elementen, etwa M = {a1,...,an,an+1}. Wir zerlegen P(M) in zwei getrennte Teile P1 und P2, und zwar in diejenigen Teilmengen von M, die an+1 enthalten und die jenigen, die an+1 nicht enhalten. Also: P1 = {A Ì M | an+1 Î A } und P2 = {A Ì M | an+1 Ï A }. Eine genauere Betrachtung von P2 zeigt nun: P2 = P({a1,...an}), d.h. P2 ist die Potenzmenge einer n-elementigen Menge, P2 hat somit 2n viele Elemente (denn für die Zahl n soll die Aussage ja bereits gültig sein!). Wir betrachten nun die Mengen in P1. Jedes A aus P1 enthält, wie festgelegt, das Element an+1; wenn man nun dieses Element aus A entfernt, erhält man eine neue Menge A* Ì M, die an+1 nicht enthält, d.h. A* Î P2 . Umgekehrt kann man jeder Menge aus P2 durch Hinzufügen von an+1 eine Menge aus P1 zuweisen. Dabei heben beide Prozesse jeweils die Wirkung des anderen auf, d.h. die Zuordnung A « A* ist eineindeutig. P1 und P2 haben daher gleichviele Elemente. Also ist die Elementanzahl von P(M) gleich 2n+2n = 2×2n = 2n+1. · reicht das als beweis? |
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| 04.11.2006, 19:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis auf die Tatsache, dass du anstelle von immer geschrieben hast und ich diese Beschreibung oben nicht verstehe, ist das korrekt. (Ich habe dann einfach mal geraten, was das heißen soll.) Gruß MSS |
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| 05.11.2006, 10:23 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, ich denke, dass du richtig geraten hast 
danke...lg Franzi |
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| 05.11.2006, 10:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Induktion bei dieser Aufgabe? Ihgitt! Du hast doch erst kürzlich gezeigt, dass gilt. Damit lässt sich die Aufgabe begründen. Gruß, therisen |
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