Maßtheorie

14.07.2010, 12:50

BanachraumK_5

Maßtheorie

Ich lese gerade folgende Aussage: " Im Falle einer partiellen Dgl. ist in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Teilraum des Tangentialraums gegeben, dessen Dimension größer 1 ist. Bekanntlich ist schon ein Feld zweidimensionaler Ebenen im dreidimensionalen Raum im allgemeinen nicht integrierbar".

O.K. was eine Mannigfaltigkeit ist weiß ich und was eine DGL ist auch. Aber wie habe in der Vorlesung immer nur offene Menge aus dem R^n betrachtet und das ist ja nicht unbedingt immer gleich eine Mannigfaltigkeit. Kann mir da mal jmd. den Zusammenhang genauer erklären? Und die zweite Aussage mit der Integrierbarkeit ?

14.07.2010, 14:51

sergej88

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Hallo,

eine offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist immer eine glatte (Unter)mannigfaltigkeit. Man betrachte dazu einfach die Identität als Einbettung in denselben Raum.

mfg.

15.07.2010, 11:24

BanachraumK_5

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o.k. aber wie ist es mit den zweidimensionalen Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Was ist der Grund das da die Integrationstheorie scheitert ? Beudeutet nicht integrierbar in diesem Kontexte, dass das Lebesgue Intergral nicht existiert ?

19.07.2010, 18:24

BanachraumK_5

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19.07.2010, 19:16

system-agent

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Ich fürchte du musst hier ein paar Erläuterungen geben.

Du hast also eine Mannigfaltigkeit und pro Punkt wählst du einen linearen Unterraum aus dessen Dimension grösser als 1 ist?
Wie hängt das mit der PDGL zusammen?
Was bedeutet es, wenn ein "Feld von Ebenen" integrierbar ist?

22.07.2010, 22:26

BanachraumK_5

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Sry für die späte Antwort. Hatte noch andere Prüfungen.

Zitat:

Wie hängt das mit der PDGL zusammen? Was bedeutet es, wenn ein "Feld von Ebenen" integrierbar ist?

Zunächst wähle ich $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Mannigfaltigkeit ist und habe dann eine Teilmenge aus dem Tangentialraum gegeben. Das ist ein linearer Unterraum nennen wir mal $\begin{eqnarray*} N \subset T_x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} T_x \end{eqnarray*}$ der Tangentialraum ist.

Ehrlich gesagt ist es mir nicht so ganz klar warum das mit partiellen DGl. im Zusammenhang steht. Wir haben in der Vorlesung gewisse Operatoren betrachtet. Unter anderem elliptische und hypoelliptische;

Ein semielliptischer Operator $\begin{eqnarray*} L := \sum_{i=1,j=1}^na_{ij} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^n a_i \frac{\partial}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ mit realen Kooeffizienten.

semidefinitheit bedeutet dann dass die Matrix $\begin{eqnarray*} (a_{ij}) \end{eqnarray*}$ pos. semi. def. ist.

Nehmen wir mal den Operator $\begin{eqnarray*} L^* := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial^2 x_i} -\frac{\partial}{\partial t} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich sehe nun anhand dieses Beispiels nicht den Zusammenhang. Wie sieht das aus wenn ich dann noch die Gleichung (Poisson) $\begin{eqnarray*} Lu = -f \end{eqnarray*}$ (im distributiven Sinn) betrachten möchte. Gibt es da noch eine Geometrische Veranschaulichung.

Zitat:

Was bedeutet es, wenn ein "Feld von Ebenen" integrierbar ist?

Das die Menge die dieses Feld beschreibt meßbar ist. Also das ich dieser Menge ein Volumen zuordnen kann. Gegebenfalls lässt sich dieses mit dem Lebesgueintegral bestimmen.

Edit:

Zitat:

offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist immer eine glatte (Unter)mannigfaltigkeit

O.K. aber in meinem Skript ist nirgendswo die Red von Mannifaltigkeiten, es ist zwar immer eine FUnktion auf einer offenen Teilmenge definiert, aber mehr nicht. Es werden wie man in der Definition sieht Anforderungen an die Funktionen gestellt. http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Gleichung

24.07.2010, 12:32

BanachraumK_5

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O.k. ich lasse es jetzt mal mit folgender Aussage stehen:

Wir haben die entsprechen Funktionen auf offenen Mengen erklärt, eine Verallgemeinerung dessen wäre eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

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