Integration

14.07.2010, 21:10

CMB

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Integration

Meine Frage:
Hallo!
wollte mal kurz um hilfe bitten bei einer integration und zwar wollte ich das integral von $\begin{eqnarray*} \int \! tan(2x) \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen und bräcute dazu etws hilfe?

Meine Ideen:
Es kommt als ergebnis $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} ln\cos(2x) \end{eqnarray*}$ heraus aufjedenfall weiss ich wie er auf ln kommt nur die ganze aufgabe ist mir ein wenig ein rätsel
bitte um hilfe

14.07.2010, 21:12

Calvin

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$\begin{eqnarray*} \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$

Danach hast du ein Integral fast in der Form $\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}\,\dx \end{eqnarray*}$

14.07.2010, 21:29

CMB

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hallo! danke für die antwort
also wenn ich jetzt aber sin(x) ableite erhalte ich doch cos (x) und cos(x) durch cos(x) ergibt doch im en deffekt 1 oder ????

14.07.2010, 21:42

Calvin

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Hä? Wenn du den Zähler ableitest, dann änderst du das Integral. Das darfst du natürlich nicht machen.

Schreibe den Tangens nach der angegebenen Formel um. Danach hast du einen Bruch. Im Zähler des Bruches steht (bis auf einen Faktor) die Ableitung des Nenners.

Das ist das Besondere an diesem Integral. Das kann man durch Substitution des Nenners lösen (oder mit entsprechender Übung durch Hinsehen).

14.07.2010, 21:47

CMB

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also in dem fall wäre das dann -sin(x) und mit was kann ich es am besten substituiren ich könnte es doch so machen das ich dann für denn nenner z=ln nehme oder...bin etwas schwach in dem gebiet bracuhe noch übung.....

14.07.2010, 22:03

Calvin

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Bevor du dich an die Substitutionsregel machst, gehe mal den umgekehrten Weg.

Bilde mal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln{(f(x))} \end{eqnarray*}$ (Kettenregel nutzen).

Das Ergebnis vergleichst du dann mit dem, was ich hier geschrieben habe. Das sollte dir schon mal einen Eindruck geben, was ich mit meiner ersten (allgemeinen) Antwort gemeint habe.

Bist du denn generell mit Substitution bei Integralen vertraut?

In deinem Integral hilft die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\cos{(2x)} \end{eqnarray*}$

EDIT
Bin jetzt offline. Bitte jemand anderes weitermachen

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14.07.2010, 22:17

CMB

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also das mit dem ln(x) die ableitung davion ist ja 1/x ist ja klar und das mit dem u=cos(2x) bei uns heisst es z=cos(2x) ich habe jetzt erst bemerkt das ich statt cos(2x) nur cos(x) stehen hatte also im grunde genommen sieht das doch jetzt so so aus
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(2x)}{z} \, dx \end{eqnarray*}$ und jetzt habe ich probleme weiter zu kommen ich kenn die nächsten schritte nicht....

14.07.2010, 22:53

Iorek

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Der nächste Schritt wäre es jetzt, dein $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Wenn du substituierst, musst du das ganze substituieren.

14.07.2010, 23:09

CMB

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also dz bestimmen in dem fall muss ich doch cos(2x) ableiten und heraus bekomme ich doch dann -sin(2) und war es nicht so das ich das für dx einsetzten müsste in dem fall würde es so aussehen

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(2x)}{z}* \frac{-(sin(2))}{dz} \end{eqnarray*}$

14.07.2010, 23:27

Iorek

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Fast richtig. Du musst das nicht für dx einsetzen, sondern das dx ersetzen.

Du hast jetzt gesetzt: $\begin{eqnarray*} z=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ , wenn wir jetzt $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ bestimmen, dann steht links $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ und rechts leiten wir mit der Kettenregel ab und erhalten was?

14.07.2010, 23:41

CMB

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aso also mit der kettenregel kommt dan raus -sin(2x)+cos(2) und dmit ersetzten wir dx mit dz=-sin(2x)+cos(2) und dann lautet das ganze insgesammt

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{sin(2x)}{z}*\frac{(-sin(2x))+cos(2)}{dz} \, \end{eqnarray*}$
oder???

sorry meinte dx=-sin(2x)+cos(2)/dz

14.07.2010, 23:44

Iorek

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Zitat:

Original von CMB
aso also mit der kettenregel kommt dan raus -sin(2x)+cos(2)

Dann wüsste ich mal gerne, welche Kettenregel du da verwendest verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \overbrace{\cos}^{\text{äußere Fkt.}}(\underbrace{2x}_{\text{innere Fkt.}}) \end{eqnarray*}$

15.07.2010, 00:01

CMB

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ups momentmal also kettenregel falsch angewand habe andere regel benutz also innere mal äußere das wäre doch dann 2*(-sin) so kenne ich die kettenregel innere mal äußere ableitung

15.07.2010, 00:10

Iorek

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Ja, deine Ableitung ist $\begin{eqnarray*} -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$ , also haben wir jetzt $\begin{eqnarray*} z=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz}=-2\sin(2x)\dx \end{eqnarray*}$ .

Mit einer kleinen Umformung können wir jetzt die Substitution komplett durchführen. Wir haben da stehen $\begin{eqnarray*} \int \frac {\sin(2x)}{\cos(2x)}~\dx \end{eqnarray*}$ , das kommt unserem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ schon sehr nahe, was fehlt nämlich nur noch?

15.07.2010, 00:16

CMB

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jetzt bin ich mir nicht sicher das verwirrt mich jetzt ein bisschen also wir haben ja die ableitung und mit ihr sollten wir doch dx ersetzten können
dann müsste doch da stehen eigentlich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(2x)}{z}*\frac{2*(-sin)}{dz} \end{eqnarray*}$

oder was fehlt noch

15.07.2010, 00:18

Iorek

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Wie kommst du jetzt darauf? unglücklich

unglücklich

Ist dir das Verfahren der Integration durch Substitution klar?

15.07.2010, 00:20

CMB

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wie gesagt bracuhe noch übung darin bin mir nicht sicher was jetzt kommt ich habe die schritte bis zu dem punkt jetzt verstanden aber weiter verstehe ich es nicht leider

15.07.2010, 00:26

Iorek

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Ok, wir stehen hier:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {\sin(2x)}{\cos(2x)}\dx \end{eqnarray*}$ , jetzt wollen wir substituieren und haben berechnet: $\begin{eqnarray*} z=\cos(2x),~\operatorname{dz}=-2\sin(2x)\dx \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir jetzt ganz scharf hinschauen, sehen wir das $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ im Nenner stehen, das können wir mit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ersetzen. Was bleibt übrig? $\begin{eqnarray*} \sin(2x)\dx \end{eqnarray*}$ , das müssen wir also auch noch ersetzen, und einen sehr ähnlichen Ausdruck haben wir auch mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ berechnet. Allerdings können wir das noch nicht direkt ersetzen, wir müssen erst noch eine kleine Umformung vornehmen, immerhin haben wir im Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \operatorname{dz} \end{eqnarray*}$ noch die -2 drin stehen.

Ich bin jetzt für heute weg, falls einer zu später Stunde noch übernehmen mag, so möge er dies bitte tun smile

smile

15.07.2010, 00:30

CMB

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danke di für alles bis hierher....

falls das noch jemand liest kann es sein das man hier den kerhwert benutzen mus oder sowas und denn nenner mit dem zähler vertauschen muss wäre das ein möglichkeit????

15.07.2010, 00:38

Mulder

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Zitat:

Original von CMB
[...] kann es sein das man hier den kerhwert benutzen mus oder sowas und denn nenner mit dem zähler vertauschen muss wäre das ein möglichkeit????

Was soll das denn sein? Ein deutscher Satz?

$\begin{eqnarray*} \int \frac {\sin(2x)}{\cos(2x)}\dx \end{eqnarray*}$

So, substituiert haben wir

$\begin{eqnarray*} \cos(2x)=z \end{eqnarray*}$

Um nun noch das $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ im Integral zu ersetzen, bildest du die Ableitung von z nach x. Formal:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} = (\cos(2x))' = -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$

Dieses dz/dx beschreibt eben die Ableitung von z nach x. Und alles, was du nun noch tun musst, ist bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} = -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Und dann eben im Integral ersetzen. Du darfst hier mit $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd z \end{eqnarray*}$ rumrechnen, als wären es Faktoren (also auf beiden Seiten damit multiplizieren).

15.07.2010, 00:46

CMB

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ok sorry wegen dem deutsch ich schreuibe auf einem laptop und bin es nicht gewohnt wie auch immer.... also wenn ich jetzt nach dx auflöse erhalte ich im endeffekt dann

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{sin(2x)}{z}*\frac{-2sin(2x)}{dz} \end{eqnarray*}$

ist das sweit richtig jetzt müsste ich doch nu nch zusammenfassen und auflösen oder?

15.07.2010, 00:48

Mulder

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Nein, ist falsch. Du löst völlig falsch auf! Darum kommt da auch so ein Unfug raus, der dir nicht weiterhilft. Das geht ja schon damit los, dass das Differential dz im Nenner steht. Da müssten doch schon alle Alarmglocken klingeln!

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} = -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dd z = -2\sin(2x) \, \dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dx =\frac{\dd z}{-2\sin(2x)} \end{eqnarray*}$

15.07.2010, 00:56

CMB

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jetzt muss ich mal nachfragen wieso das nicht einfach dz/dx=-2sin(sx) dann einfach geteil durch dz n der umformung ist wir wollen doch nach dx umformen warum muss man erstmal nach dz dann nach dx...verstehe ich nicht ganz...bei vielen anderen aufgaben musste man das einfach nach dx umformen und das war immerzu geteilt durch dz

15.07.2010, 01:01

Mulder

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Zitat:

Original von CMB
warum muss man erstmal nach dz dann nach dx...verstehe ich nicht ganz...

Ich verstehe ja, dass man anfangs so seine Probleme mit dieser Integralsubstitution hat. Aber dieses ganz elementare Rumrechnen, das man eigentlich schon in der Grundschule lernt, darf dabei doch nicht der Punkt sein, an dem es scheitert. Lös nach dx auf, wie du es für richtig hälst. Aber mach es richtig. Wenn man einfach auf beiden Seiten durch dz teilt, erhält man das:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} = -2\sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, \frac{1}{\dx} =\frac{-2\sin(2x)}{\dd z} \end{eqnarray*}$

Und nun? Du hast jetzt links 1/dx stehen. Was willst du damit denn anfangen? Du willst doch nach dx auflösen.

15.07.2010, 01:10

CMB

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wenn ioch es jetzt geteilt durch 1 nehme dann gibt es einen doppelzähler und der einzelne nenner wird doch dann in den obersten zähler verschoben

$\begin{eqnarray*} \frac{-2sin(2x)}{\frac{dz}{1} } \end{eqnarray*}$ meinst du das?

15.07.2010, 01:18

Mulder

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Zitat:

Original von CMB
wenn ioch es jetzt geteilt durch 1 nehme

Wenn schon, dann "hoch minus 1". Denn geteilt duch 1 verändert nichts.

Und wenn schon, dann ergibt sich das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{\dx}} = \frac{1}{ \frac{-2\sin(2x)}{\dd z}} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Doppelbrüche alle wieder beseitigen und es ergibt sich genau das Resultat, das ich oben schon geschrieben hatte. Ist aber schon etwas umständlicher, findest du nicht?

15.07.2010, 01:22

CMB

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da hast du allerdings recht also sollte man es sich so einfach wie möglich machen gut soweit habe ich das jetzt aufgeschrieben also wir haben

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac {sin(2x)}{z}*\frac{dz}{-2sin(2x)} \end{eqnarray*}$
ist das jetzt soweit alles richtig

15.07.2010, 01:23

Mulder

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Ja, so muss es aussehen.

15.07.2010, 01:28

CMB

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gut alles klar jetzt muss nur noch umgeformt werden in der lösung steht ja das da

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}ln (cos(2x)) \end{eqnarray*}$ raus kommt ich muss doch jetzt erstmal integrieren oder soll mann da sofort zurücksubstituieren???

sorry muss nichts integriert werden wenn ich das sin(2x) mit dem -2sin(2x) weg kürze bleibt ja nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ übrig und auf der anderen seite dann $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{-2} \end{eqnarray*}$ dies dann zurücksubstituieren oder...?

15.07.2010, 01:31

Mulder

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Rücksubstituieren immer erst NACH der Integration. Sonst wäre es doch witzlos.

Was ergibt sich denn nun für ein neues Integral nach der Substitution? Da steht jetzt immer noch was mit x drin. Nach der Substitution darf aber NIRGENDS mehr die alte Variable x auftauchen, es muss vollständig alles ersetzt, bzw. gekürzt werden. Wir können hier ja nun wunderbar kürzen. Was ergibt sich dann?

15.07.2010, 02:15

CMB

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gut ok bin jetzt bis zu dem punkt gekommen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}*\frac{dz}{-2} \end{eqnarray*}$ habe die sin(2x) voneinander gekürzt jetzt muss integrieren ist das so richtig?

jetzt habe ich das so umgeformt $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}* \frac{1}{z}*\frac{dz}{-2} \end{eqnarray*}$

jetzt noch rücksubstituieren und das wars

falsch falsch da war ein fehler die -2 fallen bei den dz/-2 weg die würden vor das integral genommen

15.07.2010, 02:22

Mulder

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Zitat:

Original von CMB
jetzt habe ich das so umgeformt

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}* \frac{1}{z}*\frac{dz}{-2} \end{eqnarray*}$

jetzt noch rücksubstituieren und das wars

Ursprünglich war die Aufgabe, ein Integral zu lösen. Und auch, wenn dir das widerstrebt: Das ist auch weiterhin die Aufgabe. Die Substitution diente nur dazu, das Integral zu vereinfachen. Das ist ja auch geglückt.

15.07.2010, 02:24

CMB

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gut danke für die hilfe aufjedenfall muss ich das noch üben und mir das genauer a´nsehen habe ich hier noch ein paar aufgaben die werde ich aber etwas später lösen danke für die hilfe g8

17.07.2010, 01:58

Bo_Wrexham

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hallo, versuche gerade hier mitzukommen, aber irgendwie schaff ich das nicht...

gibts da nicht so ne schicke formel ohne substitution....ähnlich wie beim ableiten u*v'......
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{\sin(x)}{\cos(c)} \, dx = \int \! \frac{u}{v} \, dx \end{eqnarray*}$

17.07.2010, 03:24

Mulder

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Zitat:

Original von Bo_Wrexham
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{\sin(x)}{\cos(c)} \, \dx \end{eqnarray*}$

Wenn wir mal davon ausgehen, dass da im Nenner cos(x) und nicht cos(c) stehen soll: Dann doch, gibt es. Hier hat man den Spezialfall, dass im Zähler bis auf einen konstanten Vorfaktor (nämlich -1, was man aber leicht beheben kann) die Ableitung des Nenners steht, man kann eine Stammfunktion also direkt angeben:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dx = \ln(|f(x)|)+C \end{eqnarray*}$

Aber auch das ist natürlich ein Sonderfall, der unmittelbar aus der Substitutionsregel folgt. Was das mit dem u/v da bei dir sein soll, weiß ich nicht.

17.07.2010, 22:13

Bo_Wrexham

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Warum habe ich immer das gefühl, das ich hier nix raff und eure antwort immer mehr fragen aufwirft.....??? nochmal langsam bitte Mulder...

18.07.2010, 00:37

Mulder

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Zitat:

Original von Bo_Wrexham
Warum habe ich immer das gefühl, das ich hier nix raff und eure antwort immer mehr fragen aufwirft.....???

Wenn dem so ist, dann musst du eben erstmal ein paar Grundlagen nacharbeiten. Dieses Forum eignet sich eigentlich nur für gezielte Nachfragen, und nicht, um komplette Themen von vorne bis hinten durchzukauen. Ich weiß ja auch nicht, wie gut du mit der Integralsubstitution vertraut bist.

Ableiten ist stures Rumrechnen, das kann jeder, aber beim Integrieren muss man eben oft etwas genauer hinsehen. Da muss mal ein bisschen üben und ein Auge für entwickeln. Direkt Regeln zum Runterrechnen gibt es in der Form nicht, nein. Aber mit partieller Integration und eben der Integralsbstitution stehen dir ja zwei sehr schöne Werkzeuge zur Verfügung. Man muss sie nur anzuwenden wissen. Die partielle Integration ist eine Folgerung aus der vom Ableiten bekannten Produktregel und die Integralsubstitution ergibt sich eben aus der Kettenregel.

Wenn nach der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \left ( F(g(t)) \right )' = f(g(t)) \cdot g'(t) \end{eqnarray*}$

ist, dann ist eben auch analog

$\begin{eqnarray*} \int f(g(t)) \cdot g'(t) \, \dd t = F(g(t)) \ \ \ (+C) \end{eqnarray*}$

Dein Beispiel mit

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \, \dd t \end{eqnarray*}$

ist genauso aufgebaut und kann daher eben nur mit Substitution gelöst werden. Da wirst du dich fügen müssen.

18.07.2010, 12:04

Bo_Wrexham

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Zitat:

Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dx = \ln(|f(x)|)+C \end{eqnarray*}$

Aber auch das ist natürlich ein Sonderfall, der unmittelbar aus der Substitutionsregel folgt. Was das mit dem u/v da bei dir sein soll, weiß ich nicht.

[latex]\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)} \, \dx]

deine Formel würde also nur für diesen Fall gelten, wenn f(x)=sin(x), oder?
naja, von aussen ist es echt schwierig hier manchmal zu folgen, der eine macht da einen fehler, der andere meints dort anderst...
ja, eigentlich sollte ich mit der sustitution vertrat sein, aber irgendwie tue ich mich immer schwer was ich da genau machen soll....nur doof das in 6w prüfung iss...und das nicht das einzigste probl.

18.07.2010, 12:06

Bo_Wrexham

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Zitat:

Original von Bo_Wrexham

Zitat:

Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dx = \ln(|f(x)|)+C \end{eqnarray*}$

Aber auch das ist natürlich ein Sonderfall, der unmittelbar aus der Substitutionsregel folgt. Was das mit dem u/v da bei dir sein soll, weiß ich nicht.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)} \, \dx] \end{eqnarray*}$

deine Formel würde also nur für diesen Fall gelten, wenn f(x)=sin(x), oder?
naja, von aussen ist es echt schwierig hier manchmal zu folgen, der eine macht da einen fehler, der andere meints dort anderst...
ja, eigentlich sollte ich mit der sustitution vertrat sein, aber irgendwie tue ich mich immer schwer was ich da genau machen soll....nur doof das in 6w prüfung iss...und das nicht das einzigste probl.

18.07.2010, 12:44

Mulder

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Zitat:

Original von Bo_Wrexham
deine Formel würde also nur für diesen Fall gelten, wenn f(x)=sin(x), oder?

Diesen Satz verstehe ich jetzt nicht. Sie gilt grundsätzlich, wenn man einen Bruch vorliegen hat, bei dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Das muss nicht zwingend sin sein, das können auch e-Funktionen, Polynome, Logarithmen und weiß der Geier was noch sein.

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