beweis mengen vereinigung/durchschnitt

04.11.2006, 19:29

male

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beweis mengen vereinigung/durchschnitt

hallo,

habe einen hänger bei meiner aufgabe:

es ist zu beweisen:

A u B = A\(A\B)

meine überlegung:

AuB={xI $\begin{eqnarray*} x\in A und x\in B \end{eqnarray*}$ }
A\B={xIx $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und x nicht element von B}
A={xIX $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ }

die linke seite ist klar!
nur wie schreibe ich jetzt die rechte seite auf:
A\(A\B)={xIx $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ und ( x $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ und x nicht in B)} = {xIx $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ und x $\begin{eqnarray*} \in B \end{eqnarray*}$ }

und damit wäre es doch dann gezeigt, richtig?
wäre das so ok?

04.11.2006, 19:32

male

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RE: beweis mengen vereinigung/durchschnitt
wo find ich eigentlich das "nicht element" sowie durchschnittszeichen im latex? der formeleditor rechts enthälts ja nicht verwirrt

verwirrt

Danke

04.11.2006, 19:49

Mathespezialschüler

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Zu den Zeichen: Sehr viele findest du hier.
$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ ist die Vereinigungs- und nicht die Durchschnittsmenge!

Zitat:

Original von male
nur wie schreibe ich jetzt die rechte seite auf:
A\(A\B)={xIx $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ und ( x $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ und x nicht in B)}

Das ist falsch! Du hast noch nicht beachtet, dass $\begin{eqnarray*} A\setminus B \end{eqnarray*}$ auch noch von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ "abgezogen" wird. Also:

$\begin{eqnarray*} A\setminus (A\setminus B)=\{x\ |\ x\in A\wedge x\notin (A\setminus B)\}=\{x\ |\ x\in A\wedge\neg (x\in A\wedge x\notin B)\} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.11.2006, 08:21

male

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RE: beweis mengen vereinigung/durchschnitt
alles klar...

noch eine frage zu:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \supseteq P(A) \cup P(B) \end{eqnarray*}$

wie zeige ich das? hier fehlt mir jeglicher ansatz verwirrt

verwirrt

05.11.2006, 09:22

Mathespezialschüler

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Naja, du musst zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} X\in (\wp(A)\cup\wp(B))\Rightarrow X\in\wp(A\cup B) \end{eqnarray*}$ ,

das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} (X\subset A\vee X\subset B)\Rightarrow X\subset (A\cup B) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.11.2006, 12:27

male

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RE: beweis mengen vereinigung/durchschnitt
wäre das so richtig?
a)
A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = A\(A\B)

das wäre dann: A $\begin{eqnarray*} \cap B \end{eqnarray*}$ ={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B}
A\B={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B}

A\(A\B)={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ (A\B)} = {x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \neg \end{eqnarray*}$ (x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B)}

und somit wäre dann gezeigt, dass die linke und rechte seite übereinstimmen, richtig?

b) A\(B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)=(A\B) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ (A\C)
linke seite:
B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C}
A\(B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A\ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C)}={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ C}

rechte seite:
$\begin{eqnarray*} A \setminus B= \{ x \mid x \in A \wedge x \notin B \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \setminus C= \{ x \mid x \in A \wedge x \notin C \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A \setminus B) \cap (A \setminus C)= \{ x \mid x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C \} \end{eqnarray*}$

linke und rechte seite stimmen überein - damit wäre es ja gezeigt, richtig?

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05.11.2006, 18:12

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von male
wäre das so richtig?
a)
A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B = A\(A\B)

das wäre dann: A $\begin{eqnarray*} \cap B \end{eqnarray*}$ ={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B}
A\B={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B}

A\(A\B)={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ (A\B)} = {x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \neg \end{eqnarray*}$ (x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B)}

und somit wäre dann gezeigt, dass die linke und rechte seite übereinstimmen, richtig?

Nein, du musst doch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge\neg (x\in A\wedge x\notin B) \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\in B \end{eqnarray*}$ ist!

Zitat:

Original von male
b) A\(B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)=(A\B) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ (A\C)
linke seite:
B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C}
A\(B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A\ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C)}={x $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ C}
[...]
linke und rechte seite stimmen überein - damit wäre es ja gezeigt, richtig?

Ja, aber die linke Seite muss folgendermaßen heißen:

$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cup C)=\{x\ |\ x\in A\wedge \neg (x\in B\vee x\in C)\} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.11.2006, 09:43

male

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zu a) wie zeige ich das?

zu b) ist das nicht das gleiche, ob ich das nun mit einer negation schreibe oder nicht?

06.11.2006, 18:39

Mathespezialschüler

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b) Nein, natürlich sind $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge \neg (x\in B\vee x\in C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C) \end{eqnarray*}$ nicht das Gleiche! Das sieht man doch aber oder?!

a) Naja, so wie man halt mit logischen Aussagen umgeht. Beachte, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \neg (p\wedge q)\Leftrightarrow \neg p\vee \neg q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m\wedge (n\vee o)\Leftrightarrow (m\wedge n)\vee (m\wedge o) \end{eqnarray*}$

für beliebige Aussagen $\begin{eqnarray*} m,n,o,p,q \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

09.11.2006, 09:01

male

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[QUOTE]zu b) so wie du es geschrieben hast, ist das wirklich nicht das gleiche. ich hatte allerdings das negationszeichen weggelassen und somit ist ja x nicht element von B oder x nicht element von C. und das ist doch dann das gleiche. oder steh ich wirklich so auf dem schlauch?

zu a)
wenn ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge \neg ( x \in A \wedge x \notin B)<br /> \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$ ist, dann stimmen aber beide seiten nicht überein, da sich doch beim "auflösen" der negation aus dem "und"- zeichen ein oder ergibt.
wenn ich mir das aber anschaulich ansehe, dann MUSS die aussage stimmen.
wo liegt mein fehler?

09.11.2006, 09:04

male

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zu b) so wie du es geschrieben hast, ist das wirklich nicht das gleiche. ich hatte allerdings das negationszeichen weggelassen und somit ist ja x nicht element von B oder x nicht element von C. und das ist doch dann das gleiche. oder steh ich wirklich so auf dem schlauch?

zu a)
wenn ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge \neg ( x \in A \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$ ist, dann stimmen aber beide seiten nicht überein, da sich doch beim "auflösen" der negation aus dem "und"- zeichen ein oder ergibt.
wenn ich mir das aber anschaulich ansehe, dann MUSS die aussage stimmen.
wo liegt mein fehler?

also heißt die negation x nicht in a oder x in B. da aber x in A ist, ist dann x auch in B. richtig? wie schreibt man das dann noch richtig auf?

09.11.2006, 17:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von male
zu b) so wie du es geschrieben hast, ist das wirklich nicht das gleiche. ich hatte allerdings das negationszeichen weggelassen und somit ist ja x nicht element von B oder x nicht element von C. und das ist doch dann das gleiche. oder steh ich wirklich so auf dem schlauch?

Wenn du das Negationszeichen weglässt, muss das "oder" aber zu einem "und" werden:

$\begin{eqnarray*} \neg (p\vee q)\Leftrightarrow \neg p\wedge\neg q \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von male
zu a)
wenn ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge \neg ( x \in A \wedge x \notin B)<br /> \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$ ist, dann stimmen aber beide seiten nicht überein, da sich doch beim "auflösen" der negation aus dem "und"- zeichen ein oder ergibt.

Das ist ja auch korrekt, aber mit dem $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ zusammen wird das wieder zu einem $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge\neg (x\in A\wedge x\notin B)\Leftrightarrow x\in A\wedge (x\notin A\vee x\in B)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\in B) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

11.11.2006, 12:43

male

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wäre das dann für:

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) \cap P(B) \end{eqnarray*}$

so richtig gezeigt?

$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \Longleftrightarrow x \in P(A) \wedge x \in P(B) \Longleftrightarrow X \notin A \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \neg (x \in A \wedge x \in B)\Longleftrightarrow \neg(x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Für jede $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ folg somit $\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \Longleftrightarrow x \in P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

wäre das so korrekt?

11.11.2006, 15:39

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von male
$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \wedge x \in P(B) \Longleftrightarrow X \notin A \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Woher nimmst du das?

Zitat:

Original von male
$\begin{eqnarray*} \neg(x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Auch falsch, gleiche Frage.

Zitat:

Original von male
Für jede $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ folg somit $\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \Longleftrightarrow x \in P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

wäre das so korrekt?

Nein, leider absolut nicht. Was soll denn bitte $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein?
Ich glaube, du hast noch nicht verstanden, was $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ überhaupt ist. Was verstehst du denn darunter?

Gruß MSS

11.11.2006, 18:00

male

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P(A) ist die Potenzmenge..., alle teilmengen

11.11.2006, 18:01

male

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falsch?

11.11.2006, 19:37

Mathespezialschüler

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Nein, richtig, aber was ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?
Irgendwie ergeben deine Argumente keinen Sinn.

Gruß MSS

12.11.2006, 11:00

male

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na P(M) ist die potenzmenge einer menge M. laut aufgabenstellung. dann ergibt es doch einen sinn... oder nicht....

12.11.2006, 14:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von male
Für jede $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ folg somit $\begin{eqnarray*} x \in P(A) \cap P(B) \Longleftrightarrow x \in P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(A) \cap P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Hier tritt aber nur $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ auf! Also was ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bei deinem Beweis?

Gruß MSS

13.11.2006, 09:06

male

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du hast recht. das M ist total aus der luft gegriffen bei dem beweis.
aber das ist ja nur der letzte satz! stimmt denn der rest auch gar nicht?

13.11.2006, 16:16

Mathespezialschüler

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Nein, der Rest ist eigentlich auch nicht korrekt, siehe oben:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von male
$\begin{eqnarray*} x \in P(A) \wedge x \in P(B) \Longleftrightarrow X \notin A \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Woher nimmst du das?

Zitat:

Original von male
$\begin{eqnarray*} \neg(x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Auch falsch, gleiche Frage.

Gruß MSS

14.11.2006, 10:18

male

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ich seh nun kein land mehr...

wie zeige ich das nun richtig?

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