fragen zur einheitengruppe

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
fragen zur einheitengruppe
Hallo alle zusammen,
ich habe eine kleine Frage zur Einheitengruppe. Also wir haben zum Beispiel . Ich hoffe, das ist so schonmal richtig ^^

Meine Fragen:
wenn ich die Zahl 16 nehme, dann ist das laut musterlösung in = 3. Also wurde ja modulo 13 gerechnet. Aber die Menge hat ja nur 12 Elemente, wieso rechnet man also nich mod 12?

ok nächte Frage: Es sollen die Erzeuger dieser Gruppe berechnet werden. Da kam dann die 2 raus, denn ergibt jedes Element. Das ist mir eigentlich schon klar, aber ich dachte, dass das nur eine Gruppe bzgl. Addition ist. Und das man da die Addition nehmen muss. In der Musterlösung ist aber die Multiplikation verwendet worden...
Und noch kurz: Gibt eine Aussage über die Anzahl von Erzeugern? Also sowas wie höchstens eins? Als in der Musterlösung die 2 gefunden wurde, hat man nämlich aufgehört. Kann es also nicht mehrere geben?

nächste Frage ^^
was ist eigentlich mit der 0? Bzw. wenn irgendwas mod 13 = 0 ist. Ist das dann einfach nicht in der Menge enthalten oder was mache ich damit?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

edit: ok hab schon rausgefunden, dass die Einheitengruppe bzgl. Multiplikation eine Gruppe ist ^^ sry
aber die Frage wieso man bei dem ersten Erzeuger aufhört bleibt immernoch ^^
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

wenn du zwei erzeugende Elemente a, b hast, also



Dann ist insbesondere bzw. für ein natürliches k und die Ordnung von b muss gleich der Ordnung von sein (da erzeugend). Damit hat man



und deshalb auch . Und damit muss sein. Man prüft auch leicht nach, dass für jedes solche k: gilt.

Insbesondere gibt es also erzeugende Elemente von und es gilt:

Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi
danke erstmal für deine antwort.
leider weiß ich grad nicht, was bei dir r sein soll.

aber zum rest: d.h. dass es in 4 Erzeuger gibt, weil ist oder?

Habe übrigens eben gelesen, dass isomorph zu ist. kannst du mir das evtl. erklären? und auch meine anderen fragen ^^ will das endlich mal richtig verstehen =)

EDIT: Ahh hab grad kapiert, dass ich dann einfach schauen muss welche anderen Elemente die Ordnung 12 haben und das sind dann die restlichen Erzeuger =)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
leider weiß ich grad nicht, was bei dir r sein soll.


Ah, einfach irgendeine Zahl, welche nicht von m geteilt wird.


Zitat:
aber zum rest: d.h. dass es in 4 Erzeuger gibt, weil ist oder?


Ja, und diese sind nach meinen Überlegungen:

Zitat:
Habe übrigens eben gelesen, dass isomorph zu ist. kannst du mir das evtl. erklären?


Es gibt einen Satz, welcher besagt, dass eine Gruppe der Ordnung p² entweder zu oder isomorph sein muss.


Zitat:
Aber die Menge hat ja nur 12 Elemente, wieso rechnet man also nich mod 12?


Weil man halt in ist, und dort sind die Elemente einfach die Äquivalenzklassen
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja deine Erzeuger stimmen ^^ war aber auch klar =)

woher weiß man denn, ob nun zu oder ?

Ansonsten schonmal vielen vielen Dank für deine super Antworten!
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ah das hier erklärt alles.. naja es erklärt nicht, WIESO, aber es erklärt WIE ^^

http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe

EDIT: Doch noch ne kleine Frage dazu ^^ wenn ich n=12 wähle, dann muss ich ja die obere Zeile nehmen weil 4|12. da kommt dann aber als "2.term" also sozusagen , was fang ich denn damit an?????
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
woher weiß man denn, ob nun zu oder ?


Man muss halt irgendwie nachprüfen, ob die Gruppe zyklisch ist, oder nicht.

Das kannst du ja mal für machen. (Beachte, dass bei dem Satz über die Isomorphie die additive Gruppe gemeint ist, hingegen die multiplikative Gruppe meint).


Dein Wiki-Link schiesst ein bisschen sehr über das Ziel hinaus (und benötigt auch einiges algebraisches Vorwissen). Das kann man für deinen Spezialfall wesentlich einfacher haben:

Sei G eine Gruppe der Ordnung p² mit neutralem Element e. Ist G zyklisch so gibt es ein Element a in G mit



dann definieren wir eine Abbildung durch:



Es gilt dann

Somit gilt und


Andernfalls sei (EDIT: wir müssen hier überdies wählen, damit ein Normalteiler ist). Dann ist eine Untergruppe von G und deshalb gilt für die Ordnung somit gibt es ein Element und .

EDIT: Und, da Normalteiler ist, gilt auch ist Untergruppe.

Daraus folgt nun: .
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi
nochmals vielen dank für die super antwort, und das sogar um die uhrzeit (wir mathe freaks ^^)

aber in deinem beweis hab ich 2 fragen
1. wie kommst du beim ersten beweis aus p^2 = o(a)|k und was ist das o???

und im 2. beweis: wieso ist die summe isomorph zu Z/pZ x Z/pZ?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und das sogar um die uhrzeit (wir mathe freaks ^^)


Ja, es ist einfach zuuuu heiss! Augenzwinkern


Mit o(a) bezeichne ich die Ordnung von a, man könnte auch schreiben .


Die Summe ist eigentlich ein inneres Produkt. Sagt dir das was?

Und dann kann man zeigen, dass im Fall: mit Normalteilern U, V und dann ist auch .

(wenn das dir nichts sagt, musst du mir das wohl einfach glauben.)

smile

Edit: und dass o(a) | k gilt, weiss man, da o(a) die kleinste Zahl n ist, so dass gilt nun so kann man mit Rest teilen:



Dann gilt also

wegen der Minimalität von o(a), muss also r=0 sein.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also meine erste frage hat sich mit bissl überlegen dann doch selbst geklärt ^^ man hätte aber eigentlich in deinem beweis noch zeigen müssen, dass die abbildung ein gruppenhomomorphismus ist oder?
das würde man doch so zeigen:
phi [weiß net wie dein zeichen heißt^^] (k+l) = a^(k+l) =a^k * a^l = phi(k)*phi(l) oder?

EDIT: Man müsste theoretisch auch noch zeigen,dass das Bild von phi = G ist, aber das ist ja trivial, weil wir ja den Erzeuger gewählt haben ^^ aber man sollte es vielleicht dazu schreiben =)


also die erste gruppe ist ja additiv und die zweite multiplikativ oder? bin im moment so verwirrt weils schon so spät ist ^^

naja und was du grad geschrieben hast, das sagt mir wirklich nix ^^ aber ich glaube dir =)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
phi [weiß net wie dein zeichen heißt^^] (k+l) = a^(k+l) =a^k * a^l = phi(k)*phi(l) oder?


Das Zeichen heisst "Rho". Big Laugh

Und ja, der Gruppenhomomorphismennachweis stimmt so. In meinem Beweis gibt es auch noch einige andere Dinge, die man zeigen müsste. Z.B. müsste man zeigen, dass es ein solches "a" aus dem Zentrum Z(G) von G auch wirklich gibt.

Wenn du's nachprüfen willst, dann folgt das aus der sogenannten Bahnengleichung (bzw. in diesem speziellen Fall wird sie auch Klassengleichung genannt).

Zitat:
also die erste gruppe ist ja additiv und die zweite multiplikativ oder? bin im moment so verwirrt weils schon so spät ist ^^


Wie wär's mit schlafen gehen? Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

nö will nich schlafen ^^

muss ja eaz lernen -.-
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