Determinante

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Mein Problem besteht darin, dass ich nicht verstehe , wie man den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendet. Ich könnte ja meine Matrix auf Zeilenstufenform bringen und die Hauptdiagonale multiplizieren, aber das könnte bestimmt je nach Matrix sehr aufwändig werden.

Hier mal eine Matrix als Beispiel :



Spalten / Zeilen mit vielen Nullen sollen ja immer sehr hilfreich sein. Hier sticht natürlich sofort die zweite Spalte heraus, da sie nur die 2 und ansonsten Nullen hat.

Also macht man das ja so, dass man eine Zeile und eine Spalte wählt. Der " Schnittpunkt " dieser Zeile und Spalte , hier also jetzt wird zu einer 1 gemacht. der Rest der Zeile und Spalte zu 0. Also erhält man ja folgendes :



Aber wie geht es nun weiter? Ab da komme ich nicht mehr weiter.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Ne, das hat mit einer Laplace-Entwicklung nichts zu tun verwirrt

Die Laplace-Entwicklung sieht in der Theorie schwer aus, ist aber wahnsinnig einfach. Du musst es nur einmal richtig machen.

Sei also



Wie du sagtest: Die zweite Spalte fällt auf, da dort viele Nullen sind (was für Laplace sehr gut ist). Wir wollen also nach der zweiten Spalte entwickeln.
Die Matrix sei jetzt mal standardmäßig mit indiziert. Da wir nach der 2. Spalte entwickeln ist also j=2 hier interessant.

Laplace sagt nun:



Die Matrix ist dabei diejenige Matrix, bei der du einfach die i-te Zeile und die 2. Spalte streichst. Du siehst, dass das jeweilige Spaltenelement, die man ja alle durchläuft, als Faktor auftritt. Und deswegen sind Nullen so schön: Der ganze Summand fällt weg.

Wir haben hier lediglich an Position (2/2) einen von Null verschiedenen Faktor, die Summe reduziert sich also zu



Und das ist dann einfach



Jetzt biete es sich an, nochmal nach der dritten Spalte zu entwickeln. Willst du es mal versuchen? Nochmal zur Wiederholung:

  • Gehe von oben nach unten (d.h. zeilenweise) jeden Eintrag der dritten Spalte durch, für jeden entwickelst du folgenden Summanden (die dann aufsummiert werden)
  • Der Summand enthält den jeweiligen Matrixeintrag als Faktor
  • Ein weiterer Faktor ist (-1)^(Summe aus momentaner Zeilen- und Spaltennummer)
  • Und zuletzt die Determinante der Matrix, wo du jeweils die momentane Zeile und Spalte einfach weglässt.


air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , wir haben dann also nun



Das ist ja dann





Und dann habe ich also



Und hier kann ich ja wieder die Regel von Sarrus anwenden.

So richtig? Vor allem ist mir auch die richtige Schreibweise wichtig.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Es ist fast korrekt. Du darfst den Faktor '2' nicht einfach in die Matrix reinziehen. Lass ihn draußen stehen. Wenn du ihn reinziehen willst musst du beachten, wie man solche Faktoren korrekt reinzieht (lohnt sich hier aber nicht).

Ich würde an deiner Stelle aber vor allem Laplace auch bei Matrizen üben, wo du mehr als einen Summanden hast, wo in einer Zeile oder Spalte also mehr als nur eins von Null verschiedenen Elementen ist.

Sobald du dich ein bisschen da reinfindest kannst du das ohne großen Aufschrieb einfach entwickeln, während du die Determinante hinschreibst. Anfangs solltest du es natürlich so wie jetzt etwas ausführlicher machen, um nicht den Überblick zu verlieren.

Ich persönlich finde es bei Laplace sehr vorteilhaft, von diesem "technischen Gedanken" wegzukommen, d.h. zu sehr über irgendwelche Indizes oder ähnliches nachzudenken. Wenn man es es vor Augen hält ist der Entwicklungssatz ja eigentlich enorm bequem.

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok danke sehr. ^^
Mal sehen was ich noch für Übungsaufgaben finden kann.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte bitte mein Edit!

Edit: Vielleicht etwas besser gesagt: In die Matrix zieht man einen Faktor so wie du das gemacht hast. Für die Determinante gilt dies aber nicht. Hier ist



Wobei A eine n x n - Matrix ist.

air
 
 
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir das ganze nochmal angesehen.

Ein online Dterminantenrechner

http://www.mathetools.de/determinante_berechnen/

spuckt mir als Determinante -48 aus.

Nun habe ich das ganze mit unserem Verfahren gemacht und erstmal für die 3x3 Matrix am Ende die Determinante berechnet. Da kam dann -24 raus.

Wenn ich also den Faktor davor nicht vorher reinziehen darf, würde am Ende stehen 2 * -24 was ja richtiger weise -48 gibt. Somit hätte ich die Determinante.

Wenn ich aber nicht mit r * det(A) sondern mit * det(A) rechne , kommt ein anderes Ergebnis raus.

Dann wäre es nämlich * -24 mein Ergebnis, wobei dort aber ein ganz anderes Ergebnis rauskommt.

Was habe ich falsch verstanden?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Faktor vorher reinziehst, darfst du in nur auf eine Spalte oder Zeile anwenden. Oder du verteilst ihn gleichmäßig, dann kommt aber auf jeden Eintrag die dritte Wurzel aus 2.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar , danke. ^^
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reneee
Alles klar , danke. ^^


Kein Problem, gerne Augenzwinkern
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