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15.07.2010, 18:32

DGLer

Dgl

Hallo,

ich will diese DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} (t^2+t-2)x'-3x-(t-1)^2=0 \end{eqnarray*}$

umgeformt:

$\begin{eqnarray*} x'-x\frac{3}{(t-1)(t+2)}=\frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

Die homogene Lösung sollte klar sein:

$\begin{eqnarray*} x_h=\frac{t-1}{t+2} \cdot k \end{eqnarray*}$

Ansatz durch Variation der Konstanten:

$\begin{eqnarray*} x_p=k(t)\cdot \frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_p'=k'(t)\cdot \frac{t-1}{t+2}+k(t) \cdot \frac 3 {{(t+2)}^2} \end{eqnarray*}$

Das in die inhomogene DGL eingesetzt:

da bleibt:

$\begin{eqnarray*} k'(t)\cdot \frac{t-1}{t+2}=\frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} k(t)=t \end{eqnarray*}$

also ist:

$\begin{eqnarray*} y_p=t\cdot \frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

somit die Gesamtlösung:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+2} \cdot k+t\cdot \frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+1}\cdot (k+t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+1}\cdot (k) \end{eqnarray*}$

Nur komme ich mit der gegebenen Anfangsbedinung:

$\begin{eqnarray*} x(0)=-1 \end{eqnarray*}$

nicht auf die Lösung, die im Buch steht. Wo könnte mein Fehler sein?

15.07.2010, 22:23

Mulder

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RE: Dgl

Zitat:

Original von DGLer
somit die Gesamtlösung:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+2} \cdot k+t\cdot \frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+1}\cdot (k+t) \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt stimmt nicht. Warum steht da im Zähler plötzlich nur noch t+1? Das ist doch t+2.

Und dann im nächsten Schritt:

Zitat:

Original von DGLer
$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+1}\cdot (k) \end{eqnarray*}$

Wo bleibt hier das t in der Klammer? Warum machst du da aus (t+k) plötzlich einfach nur noch k?

Setz nochmal hier an:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t-1}{t+2} \cdot k+t\cdot \frac{t-1}{t+2} \end{eqnarray*}$

Fass das nochmal richtig zusammen (war wohl eh nur ein Tippfehler) und setz hier dann deine Anfangsbedingung ein. Dann bestimmst du k so, dass x(0)=-1 erfüllt ist.

16.07.2010, 14:02

DGLer

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Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ . Die Lösung sagt aber:

$\begin{eqnarray*} x=t-1 \end{eqnarray*}$

16.07.2010, 14:31

Mulder

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RE: Dgl
Fass dein Ergebnis mal in einem Bruch zusammen und faktorisiere den Zähler. Augenzwinkern

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Dgl

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