Höhenlinien in der Optimierung

16.07.2010, 10:25	MinimeAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhenlinien in der Optimierung Meine Frage: Hallo allerseits, mir ist eine Sache in der Optimierung nicht ganz klar: Die zu minimierenden Funktionen und deren constraints werde (fast) immer als Höhenlinien dargestellt: - warum geht das? - wie komme ich auf die Höhenlinien? - was zeigt/veranschaulicht mir das? => diese Art der Darstellung scheint eine hilfreiche Methode zu sein, leider verstehe ich nicht, was es mir bringen soll... Schonmal vielen Dank im Voraus MinimeAndMe Meine Ideen:
16.07.2010, 11:05	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinnvoll ist die Sache mit den Höhenlinien wohl nur im R^2, maximal im R^3, weil man es eben sonst nicht zeichnen kann. Wie kommst du auf die Höhenlinien? Setze deine zu minimierende Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ gleich einer festen Zahl c und löse nach y auf. Dann hast du die Höhenlinie zum Niveau c als Funktion von x, in der Art y(x) = ... Das kannst du zeichnen und entsprechend dem c verschieben. Warum bringt dir das etwas? Das Optimum wird immer in einer Ecke des zulässigen Bereiches angenommen. Du musst also nur die Linien verschieben, so dass sie durch eine Ecke verlaufen und dann die Eckpunkte überprüfen. Nur dort kann ein Minimum angenommen werden.
16.07.2010, 11:09	MinimeAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, danke. Damit hab ich zumindest verstanden, wie man auf die Höhenlinien kommt. :-) Aber warum wird das Optimum IMMER in einer ECKE angenommen?
16.07.2010, 11:15	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierig ... meine Optimierungsvorlesung ist eine Weile her ... Schau dir auf jeden Fall den Eintrag bei Wikipedia an und / oder besorg dir ein Skript (z.B. hier). Ich fühle mich jedenfalls nur fähig, die Anschauung rüberzubringen - hat ja wohl auch ganz gut geklappt.
16.07.2010, 15:56	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich habe ein bißchen den Verdacht, dass ihr von zwei verschiedenen Dingen redet... Höhenlinien würde ich jetzt eigentlich mit nichtlinearer Optimierung in Verbindung bringen, währed Cel ganz offensichtlich von linearer Optimierung spricht... Ein typisches Beispiel könnte sein, dass man die Maxima der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^3+y^3 \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \le 1 \end{eqnarray}$ finden soll, d.h., da gibt's keine "Ecken", was den zulässigen Bereich betrifft, sondern das ist im Gegenteil eine "sehr runde Sache"... Die Höhenlinien wäre hier die Kurven $\begin{eqnarray} x^3+y^3=c \end{eqnarray}$ für verschiedene Werte von $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und diese kann man sich in einem Zeichenprogramm, das die Darstellung von Kurvenscharen bzw. Animationen mit Schiebereglern für die Werte von c zuläßt, sehr schön veranschaulichen... Genau wie im Fall der Linearen Optimierung sind aber jene Höhenlinien besonders interessant, welche den zulässigen Bereich gerade von außen berühren, hier für c=1, wobei man diese Berührpunkte (hier (1,0) und (0,1)) dann genauer unter die Lupe nehmen muss...
16.07.2010, 17:34	MinimeAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab den Link und das Skript von Cel angeschaut und ich muss Mystic recht geben. Ich befinde mich ind er nichtlinearen Optimierung. Die Sache mit der Ecke hab ich "lösen" können: In der linearen Optimierung kann man mit Simplexverfahren tatsächlich das Optimum immer in einer Ecke "finden". Im NLP gibts die Ecken nicht. Den Rest von Mystics Beitrag muss ich noch durchdenken ;-) Aber schonmal danke bisher.
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16.07.2010, 21:56	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich bin ich davon ausgegangen, in der linearen Optimierung zu sein. Sorry, falls das für Verwirrung gesorgt hat. Hab selber äusserst wenig Erfahrung mit nichtlinearer.
28.07.2010, 10:52	MinimeAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank an alle. Vorallem der Tipp mit dem Zeichenprogramm hat mir sehr weitergeholfen. Grüße MinimeAndMe

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