Wahrscheinlichkeit alle Würfelseiten genau einmal zu treffen

16.07.2010, 13:08

drdrex

Wahrscheinlichkeit alle Würfelseiten genau einmal zu treffen

Meine Frage:
In einer Übungsaufgabe ist die Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, dass beim 7-maligen Würfeln genau jede Augenzahl einmal vorkommt. Als Lösung steht $\begin{eqnarray*} \frac{6*5*4*3*2*1*(1+2+3+4+5)}{6^7} \end{eqnarray*}$ , nur komme ich nicht auf diesen Wert.

Meine Ideen:
Ich hatte mir überlegt, dass die Wsk dafür, dass bis zum 6. Wurf nur 5 Würfelseiten gefallen sind $\begin{eqnarray*} \frac{5*5*4*3*2*1}{6^6} \end{eqnarray*}$ sei, die aber vermutlich falsch ist, weil ich einfach davon nicht auf die Lösung komme.

16.07.2010, 13:27

Max Simon

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RE: Wahrscheinlichkeit alle Würfelseiten genau einmal zu treffen
Was ist denn das für ein Würfel, wo du bei 7-maligem Würfeln jede Augenzahl genau einmal erhälts?

16.07.2010, 13:27

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RE: Wahrscheinlichkeit alle Würfelseiten genau einmal zu treffen

Zitat:

Original von drdrex
dass beim 7-maligen Würfeln genau jede Augenzahl einmal vorkommt

Klingt etwas seltsam und missverständlich. verwirrt

Ich nehme an, tatsächlich meinst du sowas wie

Zitat:

dass beim 7-maligen Würfeln jede der 6 Augenzahlen mindestens einmal vorkommt

Oder?

16.07.2010, 13:34

drdrex

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ja genau, das meine ich. Sorry für die sprachliche Verwirrung.

16.07.2010, 13:42

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Die angegebene vermeintliche Lösung ist übrigens falsch, tatsächlich kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{6\cdot \frac{7!}{2!}}{6^7} = \frac{7!}{2\cdot 6^6} \end{eqnarray*}$

heraus. Vielleicht hast du auch nur einen Summanden vergessen, denn die Darstellung $\begin{eqnarray*} \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot (1+2+3+4+5+6)}{6^7} \end{eqnarray*}$ wäre ebenfalls richtig.

16.07.2010, 13:54

drdrex

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Danke für die Korrektur. Aber kannst du mir vielleicht etwas erklären, wie man dadrauf kommt?

16.07.2010, 14:00

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Es geht erstmal um Würfeln mit Beachtung der Reihenfolge - unabhängig davon, ob man das wirklich so nacheinander ausführt oder 7 Würfel zugleich würfelt. In der Wahrscheinlichkeit kommt das nämlich auf dasselbe hinaus. Insgesamt gibt es da $\begin{eqnarray*} 6^7 \end{eqnarray*}$ mögliche Wurfergebnisse.

Genau eine Zahl kommt doppelt vor, die anderen 5 jeweils einfach. Für die Auswahl der doppelt vorkommenden Zahl (nicht deren Position!) gibt es 6 Möglichkeiten - für jede Zahl eine.

Die nunmehr feststehenden 7 Zahlen können nun noch beliebig permutiert werden, da gibt es genau $\begin{eqnarray*} \frac{7!}{2!} \end{eqnarray*}$ solche Permutationen, da ja eine Zahl doppelt vorkommt.

Tja, und das war's schon, jetzt wie üblich Laplacesche Wkt "Anzahl günstig / Gesamtanzahl".

16.07.2010, 14:16

drdrex

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Ah, verstehe, jetzt ist es mir klar.
Vielen Dank für die Erklärung.

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