Wahrscheinlichkeit von n1 wenn n1+n2 gezählt wurden

16.07.2010, 15:37

Justus

Wahrscheinlichkeit von n1 wenn n1+n2 gezählt wurden

Aufgabe:

Licht fällt auf einen Photodetektor mit gleichbleibender Intensität. Die Wahrscheinlichkeit das
n Elektronen in einem Intervall von der Dauer T abgestrahlt werden entspricht:

$\begin{eqnarray*} P(\text{n in T}) = \frac{(\lambda T)^n e^{-\lambda T}}{n!} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eine Konstante für die Intensität.
Die Anzahl der Photonen $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ die in einem getrennten Intervall abgestrahlt werden, sei unabhängig. Daraus folgt wenn $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$
Elektronen im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,t_1) \end{eqnarray*}$ abgestrahlt werden und $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (t_1,t_2) \end{eqnarray*}$ , deren Wahrscheinlichkeit folgendem Wert annimmt

$\begin{eqnarray*} P(\text{n1 von }(0,t1)\text{ und n2 von }(t_1,t_2)) = \frac{(\lambda t_1)^{n_1} e^{-\lambda t_1}}{n_1!} \frac{(\lambda (t_2-t_1))^{n_2} e^{-\lambda (t_2-t_1)}}{n_2!} \end{eqnarray*}$

Berechne die bedinget Wahrscheinlichkeit das $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ Elektronen im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,t_1) \end{eqnarray*}$ ausgestrahlt werden
unter der Bedingung das insgesamt $\begin{eqnarray*} N=n_1+n_2 \end{eqnarray*}$ im zusammenhängenden Intervall $\begin{eqnarray*} (0,t_2) \end{eqnarray*}$ ausgestrahlt
wurden. Zeige das dieser Wert unabhängig von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} P(n_1 | N) = \frac{P(n_1 \cap N)}{P(N)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S = (0,t_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = 0 < t < t_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(N) = \frac{(\lambda t_2)^N e^{-\lambda t_2}}{n_2!} \end{eqnarray*}$

Ist im diesem Fall nicht $\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap N) = P(n_1) \end{eqnarray*}$ ? Warum würde man diese Aufspaltung der Intervalle wie ob durchführen (die lange Gleichung) ?
Das scheint jedenfalls alles nicht richtig zu sein, da ich mit meinem Ansatz die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so nicht nachweisen kann.

16.07.2010, 19:53

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit von n1 wenn n1+n2 gezählt wurden

Zitat:

Original von Justus
Ist im diesem Fall nicht $\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap N) = P(n_1) \end{eqnarray*}$ ?

Das erscheint doch höchst unwahrscheinlich! Dann müssten ja auch die Photonenzahlen voneinander unabhängig sein, die in sich überlappenden Intervallen abgestrahlt werden. Das kann doch gar nicht sein.

Auf der sicheren Seite ist man jedenfalls, wenn man $\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap N) \end{eqnarray*}$ einfach mal ausrechnet.

Nur wie, fragst du! Ja, ich kann die Frage genau hören. Sonst hättest du das ja gemacht. Also, in $\begin{eqnarray*} (0, t_1) \end{eqnarray*}$ müssen n1 Photonen abgestrahlt werden und in $\begin{eqnarray*} (0, t_2) \end{eqnarray*}$ N Photonen. Dann müssen doch nach Adam Riese in $\begin{eqnarray*} (t_1, t_2) \end{eqnarray*}$ N -n1 Photonen abgestrahlt werden. Die Intervalle $\begin{eqnarray*} (0, t_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (t_1, t_2) \end{eqnarray*}$ überlappen sich nicht. Dann sind laut Aufgabe die Photonenzahlen in diesen beiden Intervallen voneinander unabhängig. Ja dann ...

16.07.2010, 21:10

Justus

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Hallo Huggy

$\begin{eqnarray*} P(n1|N) = \frac{t_1^{n_1}}{t_2^N} \frac{(t_2-t_1)^N}{(t_2-t_1)^{n_1}} \binom{N}{n_1} \end{eqnarray*}$

Na, ich komme mir jetzt zwar etwas blöd vor, dass ich das nicht gesehen habe, aber egal.
Was ich aber immer noch nicht ganz verstanden habe, ist wie man auf $\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap N) \end{eqnarray*}$ kommt.

Mir ist klar, wenn zwei Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, dass man diese dann als Produkt schreiben kann.
$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A) P(B) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir aber die Aufgabe als Zahlenstrahl vorstelle, verstehe ich nicht,
warum die oben angegebene Schnittmenge entsteht, wenn ich doch die
Gemeinsamkeit von n1 und N suche.

|(0)----------------------------(n1)|-------------------------------------(N)|

16.07.2010, 22:02

Huggy

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Zitat:

Original von Justus
was ich aber immer noch nicht ganz verstanden habe, ist wie man auf $\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap N) \end{eqnarray*}$ kommt.

Einfach durch Logik. Die Ereignisse $\begin{eqnarray*} n_1 \cap N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_1 \cap (N-n_1) \end{eqnarray*}$ sind logisch äquivalent. Dabei habe ich deine Kurzschreibweise benutzt, bei der man sich die Zeitintervalle hinzudenkt. Aus dem einen folgt das andere und umgekehrt. Das $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ bei Mengen entspricht ja dem logischen und, wenn man die Schnittmenge über Elementzugehörigkeit definiert.

Dein Ergebnis stimmt übrigens nicht. Aber $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ fällt tatsächlich weg.

17.07.2010, 11:34

Justus

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Ok sehe ich ein. Aber warum ist die Lösung falsch?

$\begin{eqnarray*} P(n_1 \cap (N-n_1)) = \frac{(\lambda t_1)^{n_1} e^{-\lambda t_1}}{n_1!}\frac{[\lambda (t_2-t_1)]^{N-n_1} e^{-\lambda (t_2-t_1)}}{(N-n_1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(N) = \frac{(\lambda t_2)^{N} e^{-\lambda t_2}}{N!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n_1|N) = \frac{P(n_1 \cap (N-n_1)}{P(N)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n_1|N) = \frac{(\lambda t_1)^{n_1} e^{-\lambda t_1} [\lambda (t_2-t_1)]^{N-n_1} e^{-\lambda (t_2-t_1)} N!}{n_1! (N-n_1)! (\lambda t_2)^N e^{-\lambda t_2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n_1|N) = \frac{\lambda^{n_1} t_1^{n_1} e^{-\lambda t_1} \lambda^{N} \lambda^{-n_1} (t_2-t_1)^{N-n_1} e^{-\lambda t_2} e^{\lambda t_1} \lambda^{-N} t_2^{-N} e^{\lambda t_2}N! }{n_1! (N-n_1)! } \end{eqnarray*}$

17.07.2010, 11:48

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Ich sehe keinen Fehler, allenfalls würde ich

Zitat:

Original von Justus
$\begin{eqnarray*} P(n1|N) = \frac{t_1^{n_1}}{t_2^N} \frac{(t_2-t_1)^N}{(t_2-t_1)^{n_1}} \binom{N}{n_1} \end{eqnarray*}$

etwas anders schreiben, um den Verteilungstyp deutlicher herauszustellen:

$\begin{eqnarray*} P(n1|N) = \binom{N}{n_1} \cdot \left(\frac{t_1}{t_2} \right)^{n_1} \cdot \left(1-\frac{t_1}{t_2} \right)^{N-n_1} \end{eqnarray*}$

17.07.2010, 12:02

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich sehe keinen Fehler,

Ja, da ist auch keiner. Da habe ich das gemacht, was ich so oft kritisiere, zu oberflächlich gelesen. Was macht $\begin{eqnarray*} (t_2-t_1)^{n_1} \end{eqnarray*}$ im Nenner? Da gehört doch nur $\begin{eqnarray*} t_2^N \end{eqnarray*}$ hin. Ich habe übersehen, dass das vom Zähler in den Nenner geschoben wurde. Hammer

17.07.2010, 12:32

Justus

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Danke !

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