Klausuraufgaben Zahlentheorie/Algebra |
| 16.07.2010, 16:16 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Klausuraufgaben Zahlentheorie/Algebra Ich brauche dringend Hilfe zu den folgenden Aufgabe 1. Beweisen Sie: Ist G eine beliebige Gruppe, H<G eine Untergruppe von Index <= (kleiner gleich) 2, dann ist H ein Normalteiler. 2. Sei K ein Körper. Beweisen Sie: Jedes Polynom f aus K[x] vom Grad <= (kleiner gleich) 3, das keine Nullstelle in K besitzt, ist irreduzibel. 3. Beweisen Sie: In der symmetrischen Gruppe S4 gibt es Elemente der Ordnung 1,2,3,4 aber nicht der Ordnung 6,8,12,24 Meine Ideen: Ich weiß überhaupt nicht wie ich an solche Aufgabe herangehen soll. Deswegen bitte ich euch mir Tipps / Anregungen zu geben. |
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| 16.07.2010, 16:26 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Klausuraufgaben Zahlentheorie/Algebra
Ja sonst könntest du doch Polynomdivision durchführen... |
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| 16.07.2010, 16:30 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Klausuraufgaben Zahlentheorie/Algebra Ja, ansonsten wäre es reduzibel. Was schlagst du vor? Wie könnte man es beweisen? |
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| 16.07.2010, 16:32 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es soll eigentlich nur ein Thema pro Thread behandelt werden, also merke dir das fürs nächste Mal. Ad 1) ist wohl langweilig, also betrachten wir . Gilt dies, so ist die Anzahl der Rechtsnebenklassen und die Anzahl der Linksnebenklassen gerade genau 2. Also gilt für ein . Was kannst du daraus folgern? Ad 2) Nimm an ein solches Polynom wäre reduzibel. Was kannst du dann über die Grade der Faktoren, in die das Polynom zerfällt, sagen? Ad 3) Die Elemente der Ordnung 1,2,3,4 kannst du leicht angeben. Dass es kein Element der Ordnung 24 gibt, sollte auch klar sein. Für die anderen Ordnungen fällt mir spontan genug nichts ein. Edit: Das geht natürlich über die Gestalt der Elemente, wenn man sie als Permutationen in Zykelschreibweise darstellt, aber schön ist wohl anders... |
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| 16.07.2010, 17:17 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ad 1) Was bedeutet konkret "die Anzahl der Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen sind genau 2"? das habe ich leider nicht verstanden. Ad 2) Wenn wir annehmen, dass das Polynom reduzibel ist, dann sind die Grade der zerfallenen Polynome kleiner als der Grad des ursprünglichen Polynoms. 3) lassen wir vorerst weg Von nun an: 1 Thema pro Thread , Danke |
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| 16.07.2010, 22:27 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie kann ich jetzt weiter machen?? |
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| 17.07.2010, 15:20 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir jemand die Lösungswege dieser Aufgaben zeigen? |
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| 17.07.2010, 18:54 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ad 1) Das ist doch gerade die Definition von [G:H]=2. Les das nochmal genau nach Ad 2) Du kannst genau sagen dass es einen Faktor vom Grad ... gibt, egal wie die Zerlegung aussieht. Ad 3) stupides rechnen mit Zykeln |
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