Alle Ringhomomorphismen ZxZ->Z

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Sinnlos Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Ringhomomorphismen ZxZ->Z
Meine Frage:
Ich sitz vor einer Aufgabe und weiß nicht so genau wie ich rangehen soll:

Bestimme alle Ringhomomorphismen von ZxZ -> Z

Meine Ideen:
Mir ist die Definition von Ringhomomorphismen klar.
Weiter ist ein Ringhomomorphimus bzgl. der Addition ein Gruppenhomomorphismus, also muss gelten f(0)=0!

Soweit so gut und wie bastele ich daraus alle ringhomomorphismen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Ringhomomorphismen ZxZ->Z
Hallo!

Vielleicht hilft es, einfach mal ein paar Elemente abzubilden, zB worauf könnte man (0, 1), (1, 0), (1, 1), (5, 0) usw. abbilden?

Grüße Abakus smile
Sinnlos Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte mir zuerst x,y -> x+y überlegt aber das klappt nicht mit der Multiplikation!

Was natürlich geht ist einfach alle Elemente x,y auf die 0 abzubilden.
Sinnlos Auf diesen Beitrag antworten »

x,y -> 0 geht ja gar net weil ja nicht f(1)=1
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle Ringhomomorphismen ZxZ->Z
Zitat:
Original von Abakus
Vielleicht hilft es, einfach mal ein paar Elemente abzubilden, zB worauf könnte man (0, 1), (1, 0), (1, 1), (5, 0) usw. abbilden?


Versuche es konkret mit obigen Elementen. Wenn du weißt, wohin das Einselement abgebildet werden kann, bist du fertig?

Grüße Abakus smile
Sinnlos Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also es geht ja nur (1,1) -> 1
d.h. es kämen in Frage:

x,y --> x
x,y --> y
x,y --> xy
x,y --> x/y
wobei die letzten beiden keine Ringhomomorphismen sind also müssten die ersten beiden alle möglichen Ringhomomorphismen sein

richtig?
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast f(0,1) * f(0, 1) = 1 (oder 0), daraus lässt sich folgern, dass f(0,1) = 0, -1, oder 1 sein muss.

Analog f(1, 0). Wegen f(1, 0) + f(0, 1) = f(1, 1) lässt sich dann weiterfolgern.

Also schon richtig so.

Grüße Abakus smile
Sinnlos Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,
Danke für die Hilfe

Gruß
Sinnvoll
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