Abbildung auf Kreislinie

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05.11.2006, 01:01	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung auf Kreislinie Hi! Wir haben eine Aufgabe, bei der ich leider nicht mehr weiter komme. Also: Sei $\begin{eqnarray} r\in (0,\infty) \end{eqnarray}$ . wir betrachten die Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb C\backslash\{-r\}\rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(z)=\cfrac{z-r}{z+r} \end{eqnarray}$ . Wir sollen zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Kreislinie mit $\begin{eqnarray} \{z\in \mathbb C: \left\|z\right\|=r\} \end{eqnarray}$ auf die imaginäre Achse abbildet. Insebesondere also auch, dass jeder Punkt der imaginären Achse im Bild von f vorkommt. Also mein Ansatz: Sei also $\begin{eqnarray} z=a+bi, a,b,\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann kann man dafür auch schreiben: $\begin{eqnarray} z=re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} f(re^{i \varphi})=\cfrac{re^{i \varphi}-r}{re^{i \varphi}+r}=\cfrac{re^{i \varphi}-re^0}{re^{i \varphi}+re^0}=\cfrac{r(e^{i \varphi}-e^0)}{r(e^{i \varphi}+e^0)}=\cfrac{e^{i \varphi}-1}{e^{i \varphi}+1} \end{eqnarray}$ Rauskommen muss eigentlich, dass dann f auf die imaginäre Achse abbildet, also $\begin{eqnarray} e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray}$ . Aber wir kann ich den Ausdruck so umformen, dass ich das auch direkt sehe. Habe auch schon probiert, dass ganze in Polarkoordinaten zu schreiben, aber dann wird es noch schlimmer. Ich sollte vielleicht erstmal versuchen den Nenner rational zu machen, aber ich finde keinen vernünftigen Ansatz dafür. Hat da jemand einen Tipp??? Und wie zeige ich, dass auch jeder Punkt vorkommt??? Vielen Dank für eure Hilfe!!!
05.11.2006, 01:22	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie , also $\begin{eqnarray} e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray}$ . Nein, du musst zeigen Re(f(z))=0 und das stimmt für (exp(iphi) -1 ) / (exp(iphi) + 1)
05.11.2006, 14:38	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Hi! Na ich dachte nur, dass $\begin{eqnarray} e^{i \frac{\pi}{2}}=i \end{eqnarray}$ ist und deshalb mein Ergebnis darauf zurückführen muss. Aber klar, Re(f(z)) muss Null sein, aber wie sehe ich das diesem ausdruck denn an??? Kann ich nicht noch weiter vereinfachen? Ich würde ja fast sagen, dass man das noch in Polarkoordinaten umschreiben könnte und dann versucht, den Nenner rational zu machen? Was wäre hier die geeignete Erweiterung??? Weil ich glaub nicht, dass mir mein Übungsleiter das so abkauft!!! Danke schonmal!
05.11.2006, 14:55	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Ob ich das so angegangen wäre, weiß ich nicht, aber wo du nunmal auf dem Zug bist, Tipp 'Eulersche Identität'.
05.11.2006, 15:05	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Die Eulersche Identität besagt doch, dass $\begin{eqnarray} e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi) \end{eqnarray}$ Außerdem weiß ich, dass $\begin{eqnarray} e^{i\varphi}\cdot e^{-i\varphi}=1 \end{eqnarray}$ ist... Aber ich komm nicht auf eine geeignete Nennererweiterung Oder soll ich alles in Polarkoordinaten schreiben???
05.11.2006, 15:09	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Hockte gerade an der selben Aufgabe! König oder :-)! Die Eulersche Identität besagt aber auch das e^(i pi) + 1 = 0 ist! VIelleicht hilft dir das ja :-)
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05.11.2006, 15:27	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Danke für den Tipp, aber ich weiß noch nicht, ob der mir was bringt. Ich könnte doch jetzt den Audruck von oben schreiben als: $\begin{eqnarray} \cfrac{e^{i\varphi}+e^{i\pi}}{e^{i\varphi}-e^{i\pi}} \end{eqnarray}$ Weil ja aus $\begin{eqnarray} e^{i\pi}+1=0~\Rightarrow~e^{i\pi}=-1~\Rightarrow~-e^{i\pi}=1 \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt den Nenner mit $\begin{eqnarray} e^{-i\varphi}+e^{i\pi} \end{eqnarray}$ erweitere, ist der Nenner immer noch nicht reell...
05.11.2006, 15:28	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie ALso ich habe einfach (e^(iphi) + 1) (e^(iphi) -1) gerechnet Komme auf e^(2i phi) - 1 Bezieht sich nur auf den Nenner! Daraus folgt man bekommt den nur Teile heraus die im IM stehen! Folge Re(z) = 0
05.11.2006, 15:30	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Mal ne andere Frage! Hast du schon alle lösungen für z^8 = 1 Die bringt mich zum verzweifeln :-(
05.11.2006, 15:33	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie @^lol: Ja, die ersten zwei Aufgaben habe ich vollständig und auch den Satz des Pythagoras... Was du geschrieben hast, dass hab ich auch schon gemacht, aber ich kann doch dann nicht einfach daraus schlußfolgern, dass sich der ausdruck nur noch auf die Imaginäre Achse bezieht?!?!? Und warum werden denn alle Punkte getroffen??? Welches Semester bist du??? Edit: Rechtschreibung
05.11.2006, 15:37	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Erstes! Naja doch kann man! Weil du im Nenner nie den Imaginärteil eleiminieren kann! Somit kannst du keine Reele Zahl ermitteln! Weil im Nenner bleibt immer ein i enthalten! Würde ich jetzt schlussfolgern! Das es für alle geht vielleicht mit nem Lim zeigen???
05.11.2006, 15:46	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Lehramt oder Diplom??? Naja gut, das ist vielleicht ne Begründung, aber ich bin mir nicht sicher, ob das so abgenommen wird... Noch nen Tipp zu 3.2 (ii): Für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z^n=1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} z_k=\cos(\frac{k}{n}2 \pi)+i \cdot \sin(\frac{k}{n}2\pi),~k=1,2,...,n \end{eqnarray}$ Damit bekommst du alle Nullstellen für $\begin{eqnarray} z^8=1 \end{eqnarray}$ .
05.11.2006, 15:51	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Danke! Eigentlich müssten sie es so annehmen! Einen andere begründung fällt mir nicht ein :-(! Wirtschaftsmathematik Diplom!
05.11.2006, 15:54	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Na einfach mal schauen - hab ja noch bis Dienstag Zeit. Werd morgen nochmal jemanden fragen was er zu der Begründung sagt... Zur Not schreibe ich das auch so drunter... Dann morgen viel spaß in der Vorlesung von König - ich kann immer nur Donnerstags kommen
05.11.2006, 15:56	^lol	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Ah ein wiederholer der am Montag ne Algebra Vorlesung hat :-D, oder! Na dann noh viel Erfolg! :-)
05.11.2006, 15:59	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Nee, am Montag ist doch kein Algebra??? (es sei denn du meinst lineare Algebra - aber die besuche ich nicht ) Na was solls - dir auch noch viel spaß - vielleicht sieht man sich mal
05.11.2006, 18:14	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Erweitere zB. mit dem konjugiert Komplexen des Nenners und wende dann die Eulersche Beziehung an, oder wende sie direkt an und erweitere danach mit dem konjugiert ...
05.11.2006, 21:30	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie Hi! Also du meinst mit dem konjugiert Komplexen? Dann müsste es ja lauten: $\begin{eqnarray} f(z)=\cfrac{e^{i\varphi}-1}{e^{i\varphi}+1}\cdot\cfrac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1}=\cfrac{e^0-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{e^0-e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}-1}=\cfrac{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{-e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}} \end{eqnarray}$ Aber der ausdruck hat ja noch immer einen imaginären anteil im Nenner??? Vielleicht bin ich blind, aber ich sehe echt nicht, was ich noch machen kann...
06.11.2006, 00:51	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung auf Kreislinie exp(-i*phi) -1, ist das konjugiert komplexe des Zählers, deshalb, dein Zähler ist reel und dein Nenner rein imaginär.

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