Torricellis's Ausflussgesetz

05.11.2006, 01:12	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Torricellis's Ausflussgesetz Hi! Eine Flüssigkeit befindet sich in einem kreiskegelstumpfförmigen Behälter mit dem Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ am Boden und Radius $\begin{eqnarray} R>r \end{eqnarray}$ in der höhe $\begin{eqnarray} H>0 \end{eqnarray}$ . In den Boden wird ein Zapfhahn eingeschlagen. Jetzt ist die Frage, wie ich daraus eine Differentialgleichung aufstellen kann, wenn die Ausflussgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} v=\sqrt{2Gh} \end{eqnarray}$ ist. Dabei ist G die Gravitationskonstante. Ich hab mir erstmal überlegt, dass v mit abnehmender Höhe ja auch kleiner wird. Außerdem interessiert mich die Querschnittsfläche in diesem Körper in gewisser Höhe h. Jetzt ist aber das Problem da, dass ich darauf überhaupt nicht komme. Mein Ansatz ist nämlich: $\begin{eqnarray} h'(t)=\cfrac{\Delta h}{\Delta t}=-A\cdot \cfrac{\sqrt{2Gh}}{F(h)} \end{eqnarray}$ Wobei A die Fläche der Austrittsöffnung sei und F(h) die Querschnittsfläche in der Höhe h. Aber wie komme ich nun auf F(h)??? Hat da jemand einen Tipp für mich? Ist nicht die Querschnittsfläche zumindest immer ein Kreis? D.h. ich müsste ja jetzt eigentlich nur noch nach $\begin{eqnarray} F(h)=\pi\cdot r(h)^2 \end{eqnarray}$ fragen??? Weil es verändert sich doch nur der Radius bei abnehmender Höhe? Oder muss ich die Betrachtung gar nicht machen und kann das Problem auch einfacher lösen? Wäre sehr dankbar für jeden Hinweis!
05.11.2006, 21:35	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Torricellis's Ausflussgesetz Ist der Thread untergegangen??? Hat den keiner nen Tipp für mich?
05.11.2006, 21:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Torricellis's Ausflussgesetz Der Strahlensatz liefert den Radius der Deckfläche (passt mir besser als dein "Querschnittsfläche") in Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ über dem Boden: $\begin{eqnarray} \varrho = \varrho(h) = r + (R-r)\frac{h}{H} \end{eqnarray}$ Und mit $\begin{eqnarray} F(h) = \pi\cdot (\varrho(h))^2 \end{eqnarray}$ sollte dann alles klar sein.
05.11.2006, 21:55	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Torricellis's Ausflussgesetz @arthur dent: Danke für den Tipp! Hab schon die ganze Zeit dran rumgerätselt... Aber noch eine Frage: Ich muss das ganze doch jetzt nur noch in $\begin{eqnarray} h'(t) \end{eqnarray}$ einsetzen, aber dann halt für F = F(h). Wenn ich da jetzt noch alles quadrieren soll, kommt ja der übelst große Ausdruck raus... Kann ich nicht einfach das F(h) so stehen lassen und dann Trennung der Variablen machen und später dann ausklammern und so??? Dankeschön!
05.11.2006, 22:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die DGL ist doch sehr gut mit Trennung der Variablen integrierbar: Mit der Abkürzung $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{R-r}{H} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} F(h) = \pi (r+\lambda h)^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (r^2\cdot h^{-1/2} + 2\lambda r\cdot h^{1/2}+\lambda^2\cdot h^{3/2}) ~ \dd h = -\frac{A\sqrt{2G}}{\pi} ~ \dd t \end{eqnarray}$
07.11.2006, 16:42	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Dent: Hi! Vielen Dank für deinen Tipp - hab es so hinbekommen, und hoffe, dass es jetzt so stimmt... Herzlichen Dank
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