Koordinaten eines Gitterpunkts

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Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten eines Gitterpunkts
Hi,

Gegeben seien ein beliebiges zweidimensionales Gitter, dazu die Verbindungslinie zwischen zwei Gitterpunkten (einer sei bequemerweise der Ursprung, der andere habe die Koordinaten (a,b), ferner soll die Verbindungslinie selbst keinen weiteren Gitterpunkt schneiden).

Gesucht sind die Koordinaten (x,y) des Gitterpunktes, der den geringsten Abstand zur Verbindungslinie besitzt (aufgrund der Zentrosymmetrie jedes Gitters sind das genaugenommen zwei Punkte auf entgegenüberliegenden Seiten der Linie, deren Koordinaten aber einfach ineinander umzurechnen sind).

Meine bisherigen Versuche basierten auf der Nutzung des Skalarproduktes, der eher zufälligen Auswahl eines Gitterpunktes, der von seinen Koordinatenwerten "in der Nähe" von (a,b) liegt und der anschließenden Prüfung des Abstandes, bis der kleinste gefunden wurde. Aber gibt es auch die Möglichkeit eine (zwei?) geschlossene Formeln zu entwickeln, in die man a und b einsetzt und die einem x und y liefert?

Danke für alle Ideen.

Gruß
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Menge für das Punktegitter nicht näher spezifiziert. Das ist aber m.E. notwendig, andernfalls wird keine Lösung möglich sein.

mY+
 
 
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Du hast die Menge für das Punktegitter nicht näher spezifiziert. Das ist aber m.E. notwendig, andernfalls wird keine Lösung möglich sein.

mY+


Ok, das ist wahr. Ich dachte ganz klassisch an . Das ist doch, was du meintest?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe, aber generell sollten die Punkte , wobei die Näherungsbrüche in der Kettenbruchdarstellung von sind, sehr nahe der Verbindungslinie von (0,0) mit (x,y) liegen, und am meisten trifft dies natürlich auf den letzten Näherungsbruch vor der Übereinstimmung zu... Die Teilquotienten der Kettenbruchdarstellung von y/x bekommt man wie üblich, indem man den Euklidischen Algorithmus auf y und x anwendet...
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Na auf jeden Fall erscheint mir das ein interessanter Ansatz zu sein. Ich habe mich zwar auch so schon mal mit Kettenbrüchen beschäftigt, aber nicht in einem anschaulich geometrischen Sinne. Wenn das so wäre, wie du es beschreibst, dann erscheint mir das sehr elegant. Muß ich mal prüfen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, du hast ein CAS, das diese Näherungsbrüche für dich ausrechnet...In Derive wäre der entsprechende Befehl z.B.

convergents(y/x,10)

wenn man die ersten 10 Näherungsbrüche für y/x haben will (gibt es insgesamt weniger als 10, erscheinen Fragezeichen an den entsprechenden Stellen)...In anderen CAS wird's wohl eine ähnliche Syntax sein, weiß ich aber gerade nicht auswendig...
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ich hoffe, du hast ein CAS, das diese Näherungsbrüche für dich ausrechnet...


Ja, ich benutze Mathematica. Muß es nur mal neu installieren. Ich hab ein bißchen gegoogelt und einen Hinweis auf Felix Klein gefunden, der Kettenbrüche geometrisch interpretiert hat. Wusste ich noch nicht. Auf jeden Fall interessant, selbst wenn es nicht die Lösung des Problems sein sollte.

Falls übrigens noch jemand anderes eine Idee hat, ich bin für jeden Beitrag dankbar, selbst wenn es nur vage Ideen sind. Ist meistens geistig trotzdem anregend und wer weiß, ob man es nicht an anderer Stelle mal braucht.

Gruß
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

In Mathematica sollte der entsprechende Befehl ganz ähnlich, nämlich

Convergents[y/x,10]

lauten, wenn ich mich recht erinnere...
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch mal ein Bild angehängt.

Rot die beiden vorgegebenen Gitterpunkte und die Verbindungslinie. Blau die beiden gesuchten Gitterpunkte, die am nächsten zur Verbindungslinie liegen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Oje, nach dieser bildlichen Darstellung fürchte ich fast, wir haben die ganze Zeit aneinander vorbei geredet... Ich hatte nämlich immer das Gitter vor Augen, wie es z.B. durch die komplexen Zahlen mit ganzzahligen Koordinaten, d.h., den sog. ganzen Gaußschen Zahlen in der komplexen Zahlenebene repräsentiert wird... unglücklich

Edit: Aber vielleicht lässt sich da doch noch was retten... Wenn ich dich jetzt wenigstens richtig verstanden habe, dann gehst du von zwei linear unabhängigen Vektoren u und v aus und definierst dann als Gitterpunkte in der Ebene alle Punkte, deren Ortsvektoren von der Form xu+yv mit ganzen Zahlen x und y sind...Indem man o.B.d.A. den Ursprung in den Anfangspunkt der Geraden verlegt, könnte man dann vielleicht die gleiche Überlegung wie oben anwenden, aber nur mit einer anderen Bedeutung von x und y...
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Edit: Aber vielleicht lässt sich da doch noch was retten... Wenn ich dich jetzt wenigstens richtig verstanden habe, dann gehst du von zwei linear unabhängigen Vektoren u und v aus und definierst dann als Gitterpunkte in der Ebene alle Punkte, deren Ortsvektoren von der Form xu+yv mit ganzen Zahlen x und y sind.


Ja, genau.

Strenggenommen ist wohl äquivalent zu einem quadratischen Gitter und entspricht im Komplexen den Gaußschen Zahlen, das war mißverständlich. Ähnlich wie bei den komplexen Eisenstein Zahlen und dem hexagonalen Gitter. Eine Lösung für diese Spezialfälle wäre sicher auch interessant, aber noch interessanter finde ich den allgemeinen Fall. Denn imgrunde ist ja durch die Auswahl des zweiten Gitterpunkts als Endpunkt einer Linie (wenn man den ersten Gitterpunkt bequemerweise in den Ursprung legt) eindeutig die räumliche Lage der Verbindungslinie zu allen anderen Gitterpunkten festgelegt, also auch zu denen, die der Linie am nächsten liegen. Deshalb sollte es doch eigentlich eine Möglichkeit geben, die Koordinaten dieser Punkte zu bestimmen, wenn man die Koordinaten des zweiten Punktes kennt? Eine andere Frage wäre, ab wann sich durch affine Transformationen des Gitters etwas daran ändert, denn das quadratische und hexagonale Gitter sind ja sozusagen die hochsymmetrischen Grenzfälle und unterscheiden sich in diesem Punkt. Aber was passiert dazwischen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sind alles sehr interessante Fragen, aber ich fürchte, ich muss da passen und an Leute übergeben (mYthos?), welche in der Geometrie kundiger sind...Immerhin wäre es interessant zu wissen, ob mein Ansatz aus dem letzten Posting etwas bringt oder ob ich damit toal danebenliege...
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Immerhin wäre es interessant zu wissen, ob mein Ansatz aus dem letzten Posting etwas bringt oder ob ich damit toal danebenliege...


Wenn ich dazu was sagen kann, melde ich mich nochmal hier. Ansonsten sind weitere Ideen gerne willkommen. Der Ansatz über die Kettenbruchdarstellung hat sich bisher ziemlich interessant angehört.

Gruß
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

möglicherweise von interesse:

hilbert cohn anschauliche geometrie punktgitter S.28 ff
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp. Hab das Kapitel zu den ebenen Punktgittern eben quergelesen, weiß aber nicht, ob es für mein Problem direkt hilfreich ist. Aber lobenswert ist die Darstellung allemal, und das Hilbert et al. nicht davor zurückschrecken ein Unterkapitel der Kristallographie zu widmen, inklusive einiger chemischer Formeln (!), zeichnet sie ganz besonders aus.
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