Vollständigkeitsrelation

17.07.2010, 01:12	Physikstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeitsrelation Hallo ich studiere Physik und wir hatten des Öfteren in der Vorlesung zur theoretischen Physik folgende Vollständigkeitsrelation: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)f_n(x') =\delta(x-x') \end{eqnarray}$ Ein Funktionensystem, welches diese relation erfüllt, ist vollständig Bislang wurde diese relation jedoch lediglich der vollständigkeit halber an die Tafel geschrieben. Ich habe damit noch nie zeigen müssen, dass ein Funktionensystem vollständig ist. Dies haben wir in der Physik einfach so hingenommen. Am Beispiel des Funktionensystems { $\begin{eqnarray} sin(\frac{n\pi}{L}x) \end{eqnarray}$ } auf dem ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \int_0^L \! f_n(x) f_m(x)\, dx \end{eqnarray}$ definiert ist. Ich möchte das jetzt untersuchen. Zu zeigen ist u.a.: $\begin{eqnarray} \int_0^L \! \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{L}x') sin(\frac{n\pi}{L}x)\, dx' =1 \end{eqnarray}$ Nach Ausführung der Integration erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_0^L \! \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{n\pi}{L}x') sin(\frac{n\pi}{L}x)\, dx'=\frac{L}{\pi} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)} sin(\frac{(2n+1)\pi}{L}x) \end{eqnarray}$ Die Frage ist jetzt, wie ich zeigen kann, dass die Summe gegen 1 konvergiert.
17.07.2010, 01:30	Physikstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: ich habe mich bei den vorfaktoren ein wenig vertan. Bei der letzten summe ist der vorfaktor nicht L/pi sondern 4/pi und beim funktionensystem muss vor jeder funktion der faktor wurzel(2/L) dann müsste es passen.

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