Integral Polarkoordinaten

17.07.2010, 11:43	PeterPan123	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Polarkoordinaten Hallo, könnt ihr mir bitte sagen, ob ich das folgende Integral richtig berechnet habe? Ich soll das Integral $\begin{eqnarray} I := \int_D \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^2 + 1} d\lambda^3(x,y,z) \end{eqnarray}$ berechnen, wobei $\begin{eqnarray} D := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, x^2+y^2+z^2 \leq 1, z \geq 0 \} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} x = r \sin \varphi \sin \theta \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y = r \sin \theta \cos \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z = r\cos \theta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r \geq 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \varphi \in [0, 2\pi] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta \in [0,\pi) \end{eqnarray}$ Es folgt nach Angabe aus $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ : (1) $\begin{eqnarray} z = r \cos \theta \geq 0 \ \Rightarrow \ \cos \theta \geq 0 \ \Rightarrow \ \theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \ \Rightarrow \ r \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I := \int_D \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^2 + 1} d\lambda^3(x,y,z) &=& \int_D \frac{r^3\cos \theta \sin \theta}{r^4 + 1} d\lambda^3(r,\varphi,\theta) \\ <br /> &=& \int_0^1 \frac{r^3}{r^4 + 1} d\lambda(r) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin (2\theta) d\lambda(\theta) \int_0^{2\pi} d\lambda(\varphi) \\<br /> &=& \frac{\pi}{4} \ln(2) \end{eqnarray}$ Fubini darf ich hier verwenden, da $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [0, 2\pi] \end{eqnarray}$ kompakte Intervalle sind und $\begin{eqnarray} \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^2 + 1} \end{eqnarray}$ als Komposition stetiger Funktionen stetig ist. Danke für euren Aufwand!

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