Inverse einer Matrix + LR-Zerlegung

17.07.2010, 12:13

Behnke

Inverse einer Matrix + LR-Zerlegung

Hallo liebes Matheboard Wink

Ich hab schon ein paar Aufgaben zu LR-Zerlegung und Inversen gemacht, waren alle auf Anhieb richtig. Aber bei dieser Aufgabe ist der Wurm drin!
Ich hab Sie jetzt 5x gerechnet und es kam immer was anderes raus, wäre euch total dankbar wenn ihr euch das mal anseht! Gott

Man soll a) LR-Zerlegung angeben und b) Inverse berechnen mit vorhandener LR-Z.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -2 & -7 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich schreib euch mal einen meiner falschen Lösungen auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -2 & -7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} II-1/2I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ -2 & -7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} III+1/2I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ 0 & -6 & 1,5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} III+3II \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} I-II \end{eqnarray*}$

das wäre ja dann L + R. weiter zum inversen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2,5 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,5 & -1 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} II+2III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2,5 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,5 & -1 & 0 \\ -2,5 & 7 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} I+5/6III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2/3 & 5/2 & 5/6 \\ -2,5 & 7 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} auf 1 bringen durch teilen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/6 & 5/8 & 5/24 \\ -5/4 & 7/2 & 1 \\ 1/3 & -1 & -1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung laut andt-brunner:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/6 & 3/8 & 5/24 \\ 0 & -1/4 & -1/4 \\ 1/3 & -1 & -1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bin für jede hilfe dankbar Mit Zunge

18.07.2010, 11:49

Claudia105

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RE: Inverse einer Matrix + LR-Zerlegung

Zitat:

Original von Behnke

das wäre ja dann L + R. weiter zum inversen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2,5 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,5 & -1 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} II+2III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2,5 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1,5 & -1 & 0 \\ -2,5 & 7 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Umformung ist doch nicht richtig oder?

in der zweiten Zeile löst sich doch -1,5 nicht auf, denn du 2*-3 dazu rechnest

18.07.2010, 12:32

Bazza

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Hallo,

ich habe zwar keine anmerkung zu deinen rechnungen, aber eine frage bezüglich deiner vorgehensweise.

Ich kenne die LU(bzw. LR) zerlegung nur so, dass man, wenn man so vorgeht, wie du es getan hast, am ende die obere dreiecksmatrix U und das inverse der unteren,also L^(-1) heraus bekommt, und, wenn man beim gaußen zeilenvertauschungen vorgenommen hat, diese in einer permutationsmatrix "gespeichert" werden.
danach muss logischerweise noch das inverse von L^(-1) gebildet werden, damit man eine zerlegung von A in QLR hat.

da du keine vertauschungen gemacht hast, ist die permutationsmatrix logischerweie die 3x3 einheitsmatrix und kann weggelassen werden.

ich bin auch nicht besonders gut in LA, aber würde gerne wissen, ob deine vorgehensweise die richtige ist.

liebe grüße, baz

18.07.2010, 13:06

Behnke

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Meine LR-Zerlegung in diesem Beispiel ist eindeutig falsch!
Ich hab mich durch die Aufgabenstellung verwirren lassen.

Man muss die Faktoren der Eliminationen in der Einheitsmatrix speichern!

Richtige LR-Zerl. für meine Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1,5 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@Claudia105: Die Fehler zum Inversen hab ich auch schon gefunden. Forum Kloppe

Aber weiß einer von euch wie man mit der LR-Zerl. zum Inversen kommt?

gruß

18.07.2010, 13:31

Bazza

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Zitat:

Aber weiß einer von euch wie man mit der LR-Zerl. zum Inversen kommt?

ja, allerdings nur mit der vorgehensweise, die ich oben beschrieben habe.

durch eine LU zerlegung(=LR zerlegung) erhälst du ja

A=UL

also auch

A^(-1)=U^(-1)L^(-1)

L^(-1) hat man schon berechnet bei der LU zerlegung, also muss nur noch U^(-1) berechnet werden.

18.07.2010, 16:45

Behnke

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Zitat:

Original von Bazza
L^(-1) hat man schon berechnet bei der LU zerlegung, also muss nur noch U^(-1) berechnet werden.

Das ist quasi L mit (-1) der faktoren?

$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & -3 & 1 \end{pmatrix} L^-1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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