uneigentliche Integrale

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mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliche Integrale
Meine Frage:
Ich möchte des Wert diese Integrals bestimmen:


Meine Ideen:
Wie das grundsätzlich mit uneigentlichen Integralen (Grenzen a, b setzen, limes, ...) geht, ist klar. Mein Problem besteht darin, die Stammfunktion von zu bilden.
Mittels Partialbruchzerlegung müsste sich die Funktion darstellen lassen als

wobei ich mit an dieser Stelle mit der komplexen Zahl nicht sicher bin und hier dann auch nicht wirklich weiterkomme mit der Stammfunktion.

Meine Frage nun: bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg oder muss ich einen anderen Ansatz wählen? Wie bekomme ich die Stammfunktion von ?

Danke schonmal für hilfreiche Antworten!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudi
Meine Frage nun: bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg

Im Grunde genommen schon, aber deine Partialbruchzerlegung ist nicht komplett, nicht mal im Reellen. Zunächst mal die Faktorisierung des Nenners:

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Ich hatte den Nenner zerlegt in
.
Bin nicht darauf gekommen, wie man den hinteren Faktor weiter zerlegen kann.
Ich versuche jetzt mal mit der neuen Zerlegung weiterzurechnen.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe die Aufgabe jetzt nochmal gerechnet mit der neuen Zerlegung.
Allerdings habe ich ja für jeden Bruch jeweils zwei komplexe Nullstellen, was sich aber ganz gut mit +- bis zum Ende der Rechnung ziehen lässt.
Das Problem dabei ist, dass ich für den Wert des Integrals aufgrund dieser Kombinationen von +- Fällen folgendes herausbekomme:

Liege ich richtig damit, dass ein Integral keinen komplexen Wert annehmen kann und somit gilt?!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da liegst du richtig. Wobei du bei Kenntnis der drei Grundtypen







eigentlich sämtliche komplexen Umwege vermeiden kannst, denn mit geeigneten linearen Substitutionen kommst du bei jeder PBZ mit nur einfachen Nennernullstellen für jeden Summanden der PBZ auf einen dieser drei Grundtypen.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das mit den "geeigneten linearen Substitutionen"?
Ich muss ja A, B und C berechnen, wobei A reell (=1/3) ist, aber B und C komplex sind. Was sollte ich da wie substituieren, um für B und C keine komplexen Werte zu erhalten?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich meine, zeige ich am konkreten Beispiel: Die Substitution ergibt



sowie

.

Also wie gesagt: Ohne komplexe Umwege.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beispiel habe ich verstanden, ebenso, wie ich dann mit den Grundintegralen weitermachen muss, danke!!
Mein Problem liegt eher darin, wie ich überhaupt zu dem Punkt, an dem dein Beispiel ansetzt, gelange.

Ich versuchs nochmal konkreter zu erklären:

Dann habe ich ja, um auf dein Beispiel zurückzukommen hier aber stehen und nicht , wobei ich ja gerade dieses B suche.

Andererseits kommt mir gerade (beim Schreiben hier...) eine andere Idee:
Ich glaube, es bringt mir mehr, wie folgt umzuformen: Idee!


So hätte ich ja deine Integrale dastehen und es könnte funktionieren?! Ich versuch das mal gleich noch auf Papier zu bringen. Mal schauen, ob's klappt!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudi
Ich versuchs nochmal konkreter zu erklären:

Der PBZ-Ansatz ist unzureichend: Bei quadratischen Nennern musst du auch noch Linearterme in die Zähler aufnehmen, im Klartext:

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Ups. Stimmt. Daran hatte ich gar nicht mehr gedacht... Ist wohl doch schon ein paar Jahre her, dass ich das letzte mal PBZ (auf so umfangreiche Integrale) anwenden musste.

Ich habe aber gerade meinen andern Ansatz verfolgt, also den


Allerdings passt das Ergebnis nicht... jetzt beginnt die Fehlersuche...
Der letzte Umformungsschritt (Multiplikation der Integrale) ist aber schon ok so, oder?

Ich habe dann als Werte für die drei einzelnen Integrale folgenden raus:







Nun die Integralgrenzen eingesetzt, also jedes Integral von minus unendlich bis unendlich laufen lassen (bzw. eher von a bis b) und die einzelnen Werte mittels limes a gegen minus unendlich, b gegen unendlich berechnen. Liefert:







Daraus folgt:



Wo liegt der Fehler?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudi

Also ehrlich, ich hab vorhin nichts gesagt, weil ich das für einen einmaligen Hitzeaussetzer gehalten habe. Aber da du das wirklich weiter verfolgen willst, muss ich dir dann doch sagen, dass es keine Integrationsregel



gibt. geschockt geschockt geschockt
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

War wohl wirklich zu heiß Forum Kloppe
Hast ja recht... Ich hatte mir vorhin auch überlegt, ob man das darf und mal ein simples Beispiel gemacht (ich komme leider nicht mehr drauf, was es war), aber auf jeden Fall hatte es da ZUFÄLLIG gepasst... und dann vertraut man seinem Beispiel schnell mal ohne nachzudenken, ich brauch 'ne Pause...! ;-)

Also nochmal: Ich sollte den Ansatz der PBZ so weiterverfolgen!?

Nur wie komme ich dann auf die Form, wie in deinem Beispiel von vorhin?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie du jetzt berechnest, weißt du ja wohl - PBZ eben.

Und dass du dann für die Einzelsummanden solche Grundintegrale wie oben brauchst, liegt doch dann auf der Hand, oder?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab's geschafft. Die Lösung funktioniert so und ganz ohne komplexe Werte (auch wenn die kompexe Variante viel kürzer ist, aber eben nicht so schön...).

Danke für deine Hilfe, Arthur, und entschuldige, wenn ich zeitweise so komische Ideen hatte! Blumen

---

Ich frag mal nur so zur Sicherheit (bevor ich ewig sinnlos rumrechne), ob ich mich nun an die richtige Art des Ansatzes für eine dreifache Nullstelle im Nenner erinnere, da diese wieder nicht reell ist, müsste das doch so aussehen, richtig?

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und sind in diesem konkreten Beispiel offensichtlich. Augenzwinkern

Allerdings muss man bei mehrfachen komplexen Nullstellen dann bei der Integration schon echte Haken schlagen, wenn man jegliches "Komplexe" meiden will:

Integration bestimmter Partialbrüche im Fall mehrfach komplexer Nennernullstellen


Nicht ohne Grund hatte ich oben geschrieben

Zitat:
Original von Arthur Dent
[...] denn mit geeigneten linearen Substitutionen kommst du bei jeder PBZ mit nur einfachen Nennernullstellen für jeden Summanden der PBZ auf einen dieser drei Grundtypen.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ja, und sind in diesem konkreten Beispiel offensichtlich. Augenzwinkern


Klar, aber was hilft mir das, wenn ich das zerlegen möchte??? verwirrt Big Laugh



Ich muss nicht unbedingt alles Komplexe meiden, hatte das ja in der ersten Aufgabe auch zunächst drin, bis du mich auf den reellen Lösungsweg gebracht hast.

Aber anhand deines Links, sollte ich das schaffen ;-)

Das mit den einfachen Nennernullstellen hatte ich überlesen, bzw. als gegeben abgehakt, weil das ja beim ersten Beispiel so war. Entschuldige bitte.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudi
Zitat:
Original von Arthur Dent
Ja, und sind in diesem konkreten Beispiel offensichtlich. Augenzwinkern


Klar, aber was hilft mir das, wenn ich das zerlegen möchte??? verwirrt Big Laugh

Tut mir leid, aber bei dem Witz muss ich jetzt verständnismäßig passen. unglücklich
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, back to topic. Die beiden ersten Integrale haben nun einwandfrei funktioniert und die Partialbruchzerlegung ist auch wieder klar... ;-)
Danke für deine Hilfe!!

Ich hoffe, ich darf den Schwierigkeitsgrad etwas steigern und mit einem dieser beiden Integrale weitermachen:





Ich rechne da schon die ganze Zeit mittels partieller Integration rum, komme aber auf nichts Sinnvolles. Partialbruchzerlegung würde ich so rein gefühlsmäßig bei e und cos mal ausschließen. Kann ich da irgendwas substituieren?
Vielleicht kannst du mir einen Tipp geben, wie ich ansetzen muss?!
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