Ellipse - Punkt bestimmen

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Dominic_77 Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse - Punkt bestimmen
Hallo,


Aufgabe: Für eine Ellipse gibt es bereits Brennpunkte mit F1(-3,-2) und F2(3,2).
Eine Punkte liegt auf dieser Ellipse mit der Koordinate (3,6).
Ich muss eine andere Punkte bestimmen, so Q(6,y) auf dieser Ellipse liegt.
Die Lösung soll sehr leicht sein, aber ich habe nix gefunden.
Kann jemand mir bitte vielleicht helfen?..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zeichne dir die Punkte ein. Du siehst dann, daß der Ursprung der Mittelpunkt der Ellipse sein muß. Führt man ein neues Koordinatensystem mit den orthogonalen Einheitsvektoren



ein, so besteht für die Koordinaten der Ellipsenpunkte bezüglich die Gleichung



mit als großer bzw. kleiner Halbachse der Ellipse.

Die Brennweite der Ellipse ist , wegen gilt damit



Der Punkt hat die neuen Koordinaten .

Mit diesen Informationen kann man die Gleichung der Ellipse in den Koordinaten bestimmen. Man erhält und .

Jetzt bestimme in Abhängigkeit von für die neuen Koordinaten und setze das in die Ellipsengleichung ein. So kannst du die möglichen -Werte ermitteln. Alternativ kannst du natürlich auch zuerst die Ellipsengleichung in den Koordinaten bestimmen und direkt dort einsetzen.
 
 
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse Punkt-Bestimmen
Zitat:
Original von Dominic_77

Für eine Ellipse gibt es bereits Brennpunkte mit F1(-3,-2) und F2(3,2).
Ein Punkt liegt auf dieser Ellipse mit der Koordinate P(3,6).

die Resultate von Leopold kannst du auch elementargeometrisch so bekommen:

für jede Ellipse gilt :



bei deiner Ellipse ist also :

und:



rechne das (zB mit Pythagoras) bitte selbst mal nach ..
und nebenbei: daraus findest du dann wegen b^2= a^2 - e^2 für b=6.. allerdings:
.. du brauchst aber weder e noch b für die Berechnung der zweiten Koordinate
des gesuchten Ellipsenpunktes Q(6/y) denn :

natürlich gilt nun für deinen gesuchten Punkt Q(6/y) auch die Gleichung



so kannst du dann die möglichen y schnell berechnen...

ok?
Dominic_77 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo wieder und danke!

Ich habe aber eine Frage!
Für jeden Punkt muss man u und v neu bestimmen, ich habe das so verstanden!
Aber wie hast du u und v gerechnet? Und auf dieser Ellipse bleiben a=7 und b=6 für jeden Punkt oder?..

Vielen Dank für Antwort!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Bestimmung der Parameter erscheint mir der Vorschlag von corvus geeigneter als meiner, weil er nur die inneren Eigenschaften einer Ellipse verwendet und nicht ihre Lage im Koordinatensystem. Beachte insbesondere die charakteristische Eigenschaft, daß die Summe der Abstände eines Ellipsenpunktes zu den Brennpunkten konstant ist:



Für den vorgegebenen Punkt kannst du diese Abstände als berechnen (siehe den Beitrag von corvus) und damit ermitteln. Das geht ganz so, wie man halt den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem errechnet. Auch als halber Abstand zwischen und kann so ermittelt werden (siehe ebenfalls bei corvus). Mit der in jeder Ellipse gültigen Beziehung kann auch noch die kleine Halbachse bestimmt werden.

Und für diese konkrete Ellipse sind unveränderliche Größen: große Halbachse, kleine Halbachse, Brennweite.

Beim Vorschlag von corvus gehst du jetzt ebenso mit dem Punkt in die Gleichung . Dazu mußt du für diesen Punkt ermitteln, ganz so, wie vorhin bei . Dabei entstehen Wurzelausdrücke mit quadratischen Termen in als Radikanden. Das sieht ziemlich ungemütlich aus. Jetzt mußt du konsequent daran gehen, diese Gleichung nach aufzulösen. Das wird etwas rechenaufwendig, am Schluß bleibt jedenfalls eine hübsche quadratische Gleichung in übrig.

Bei meinem Vorschlag denkst du dir ein zweites Koordinatensystem: die -Achse von aus durch und senkrecht dazu in positiver Orientierung die -Achse. Die Vektoren aus meinem ersten Beitrag spannen dieses Koordinatensystem auf. In einer Zeichnung siehst du das sofort (der Faktor dient übrigens nur der Normierung). Bezüglich dieses neuen Koordinatensystem befindet sich die Ellipse in Hauptlage. Daher kann man sofort ihre Gleichung angeben:



Da der Punkt - das sind seine alten Koordinaten - auf der Ellipse liegen soll, müssen seine neuen Koordinaten die Gleichung erfüllen. Also geht es nur noch darum, diese neuen Koordinaten zu bestimmen. Das geht mit



Daraus erhältst du ein lineares Gleichungssystem in , das du lösen mußt. Mit den gefundenen gehst du dann in und berechnest schließlich .

Du hast nun die Wahl, welchem der beiden Vorschläge du folgen willst. Ich fände es übrigens gar nicht schlecht, wenn du beides durchrechnen würdest. Vielleicht fallen dir ja noch weitere Lösungswege ein.
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