Ist die Matrix orthogonal?

17.07.2010, 18:21

Sven1234

Ist die Matrix orthogonal?

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe aus einer alten LA II Klausur, bei der ich nicht weiterkomme.
Folgende Aussage: " Die Matrix $\begin{eqnarray*} D^T[DD^T]^{-1}D \end{eqnarray*}$ ist orthogonal"
mit D:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Laut Musterlösung ist diese Aussage wahr!

Meine Ideen:
Diese Matrix konkret auszurechnen kann nicht Ziel der Aufgabenstellung sein, da die Aufgaben meist so sind, dass man durch Überlegen bzw umstellen usw. zur Lösung gelangt. Mir ist das leider nicht gelungen, daher freue ich mich über eure Hilfe!

Noch etwas anderes. Ich weis, dass z.B $\begin{eqnarray*} (AB^T)^T = BA^T \end{eqnarray*}$ ist, also beide Matrizen transponiert und dann vertauscht werden.
Aber was passiert wenn ich 3 bzw. 4 Matrizen habe. Was ist also z.B. $\begin{eqnarray*} (ABC^T) \end{eqnarray*}$ ? oder $\begin{eqnarray*} (ABC^TD)^T \end{eqnarray*}$ und warum?
Vielen Dank im Vorraus
Gruß Sven

17.07.2010, 18:22

jester.

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$\begin{eqnarray*} D(DD^T)^{-1}D \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich die Einheitsmatrix!

17.07.2010, 18:24

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RE: Ist die Matrix orthogonal?

Zitat:

Original von Sven1234
Aber was passiert wenn ich 3 bzw. 4 Matrizen habe. Was ist also z.B. $\begin{eqnarray*} (ABC^T) \end{eqnarray*}$ ? oder $\begin{eqnarray*} (ABC^TD)^T \end{eqnarray*}$ und warum?

Dann kannst du die für zwei Matrizen dir bereits bekannte Transponierungsregel sukzessive anwenden, und zwar auf

$\begin{eqnarray*} ((AB)C^T)D \end{eqnarray*}$

u.ä. Augenzwinkern

17.07.2010, 19:33

Sven1234

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} D(DD^T)^{-1}D \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich die Einheitsmatrix!

Tut mir leid, aber das kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Ich brauche wohl eine möglichst umfangreiche erklärung damit ich das verstehe...
Wäre nett wenn du dir die Mühe machen könnte!

Gruß Sven

17.07.2010, 19:39

jester.

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$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ für (invertierbare A,B) ist alles, was man dazu noch sagen könnte.

17.07.2010, 19:44

Sven1234

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Das reicht schon, ziehmlich eindeutig und einleuchtend, wenns man das erst einmal gesehen hat...
Vielen Dank!

Gruß Sven

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