Implizite Funktion

17.07.2010, 18:23	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion Eine Verständnisfrage Für Implizite Funktionen muss ja erfüllt sein $\begin{eqnarray} $F( \hat x, \hat y)=0$ \end{eqnarray}$ für einen Punkt muss die Aussage erfüllt sein und $\begin{eqnarray} $\det (D_y F(\hat x , \hat y )) \not= 0$ \end{eqnarray}$ die Jacobi Matrix muss regulär sein nun habe ich zwei Beispiel und komme nicht ganz damit klar 1) $\begin{eqnarray} $F(x,y) = x^2 +y^2 -1 = 0$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $D_y F(x,y) = 2y$ \end{eqnarray}$ nun wird argumentiert, dass der Satz für gilt für y ungleich 0,... 2) $\begin{eqnarray} $F(x,y) = (x-y)(\frac 12 x - y) = 0$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $D_y F(x,y) = (\frac 12 x -y) + (x-y)$ \end{eqnarray}$ Hier wird nun gesagt, da $\begin{eqnarray} $D_y F(0,0) = 0$ \end{eqnarray}$ ist, kann der Satz für implizite funktionen nicht angewendet werden. Frage: Wieso kann ich bei dem einen durch Einschränkung von y auf einmal den Satz anweden und beim zweiten nicht? Gruß
17.07.2010, 18:55	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du darfst den Satz auf alle Punkte $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ anwenden, welche folgendes erfüllen: 1. $\begin{eqnarray} F(x_0,y_0) = 0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} D_yF(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ ist invertierbar. du kannst, z.b. eine Lösung von 1. finden und darauf den Satz anwenden, sofern auch 2. erfüllt ist. Besonders im 2ten Beispiel kannst du alle Nullstellen finden und auch überprüfen für welche du den Satz anwenden darfst. Z.b. darf man beim 2ten $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) = (1,1) \end{eqnarray}$ wählen. Deine 2te. Ableitung hat zudem ein Vorzeichenfehler. mfg.
17.07.2010, 19:17	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort,... aber irgendwie check ichs noch nicht ganz. Denn meine Frage ist warum die in dem Beispiel für eine Funktion sagen, der Satz ist anwendbar und für die andere nicht. Da wie du grad sagst, ich wohl auch bei der zweiten einen Punkt finden würde für den der Satz gilt?! Gruß
18.07.2010, 10:28	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zu deinem Beispiel kann ich nicht soviel sagen. Es kommt ja z.b. auch auf die Definitionsbereiche und den Zusammenhang an, wie diees Beispiel gestellt wurde. mfg.

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