Potenzsummen und deren Teilbarkeit durch Primzahlen

17.07.2010, 22:41	Ribbons	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzsummen und deren Teilbarkeit durch Primzahlen Hey Leute! Mein Großvater weiß schon länger, dass ich ein reges Interesse an Mathematik und besonders an Zahlentheorie habe, also hat er mir vor einiger Zeit eine kleine Liste von 5 Aufgaben gegeben, an denen ich knabbern sollte. Das Problem ist nur, dass sie unerwartet schwer sind... Ich habe keine Ahnung, woher mein Großvater diese Aufgaben hat, und von daher habe ich keine Ahnung von Lösungen oder ähnlichen, und es wundert mich überhaupt, wo er sowas gefunden hat.. Da ich euch nicht mit allen Fragen auf einmal überwältigen will, fang' ich am besten mit der ersten Frage an: Beweise, dass für alle Primzahlen p, $\begin{eqnarray} p \neq 2 \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} p^2 \ \| \ \sum\limits_{k=1}^p k^p \end{eqnarray}$ . Und so fängt alles an.. Da es hier $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ und nicht ein einfaches p ist, kann man Fermats kleinen Satz nicht anwenden, was die Sache ziemlich einfach gemacht hätte.. Zudem macht mir die Potenzreihe auf der anderen Seite die Sache auch nicht leichter, da das eher nach einiger Recherche wohl damit zu tun hat, was das ganze auch nicht einfacher macht.. Um es kurz zu machen: Nach 1.5 Wochen Grübeln bin ich auch nicht schlauer geworden, und hab' nichtmal Lösungsansätze.. Mit freundlichen Grüßen, Ribbons
17.07.2010, 23:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Fasse die Summanden zu Paaren zusammen, d.h. zeige $\begin{eqnarray} p^2 \Bigm\| (k^p + (p-k)^p) \end{eqnarray}$ , ganz simpel über den Binomischen Satz. P.S.: Dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ als ungerade Primzahl vorausgesetzt wird, kann man übrigens als eine Art Nebelkerze deuten: Schließlich gilt die Behauptung für alle ungeraden natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ .

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