DGL Ansatz?

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monchi Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Ansatz?
Hi,

ich soll folgende DGL lösen:



meine homogene Lösung:



So nun mein Problem:

Wie komme ich auf einen gescheiten Ansatz für die partikuläre Lösung? Mit Variation der Konstant wird das doch einwenig kompliziert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Ansatz?
Deine homogene Lösung stimmt schon mal nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vor allem ist die Differentialgleichung das Vorzeigebeispiel einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung. Zwei linear unabhängige Lösungen kann man sofort erraten. Dazu bedarf es keiner Rechnung, sondern nur eines geistigen Durchwanderns der Standardfunktionen, die man aus der Schule kennt.

Und für eine Lösung des inhomogenen Systems



würde ich einfache Funktionen wie probieren.
monchi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Ansatz?
ALso die homogene Lösung sollte dann so aus sehen:



aber mit der inhomogenen Lösung komm ich leider auch mit den Tips nicht weiter verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch meinen Vorschlag direkt in die Differentialgleichung ein. Dann wirst du sehen, daß es "fast" aufgeht. Damit es ganz stimmt, ist der Ansatz noch leicht zu verbessern.
Steffi_K Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Vor allem ist die Differentialgleichung das Vorzeigebeispiel einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung. Zwei linear unabhängige Lösungen kann man sofort erraten. Dazu bedarf es keiner Rechnung, sondern nur eines geistigen Durchwanderns der Standardfunktionen, die man aus der Schule kennt.

(...)


Hallo Leopold,
ich klinke mich hier mal ein. Magst Du das nochmal für einen ganz dummen erläutern? : )

Also DGL 1. Ordnung habe ich größtenteils verstanden...
In diesem Sinne: Kommt bei folgendes raus: ?

Nun habe ich hier eine DGL 2. Ordnung. Und zwar:

das ist ja:

Nun habe ich mal recherchiert...
und folgendes gefunden:

"Die Gleichung y'' = - y ist eine DGL 2.Ordnung. Eine partikuläre Lösung ist y(x)=cos(x), denn es ist y'(x)=-sin(x) und also y''(x)=-sin'x=-cos(x)=-y(x). Eine allgemeine Lösung ist die Funktion y(x) = c1cos(x) + c2sin(x). " (Zitat: http://kmathf.math.uni-bielefeld.de/math/dgl/ 15.Sept.2010 16:23Uhr)

Die 1. Ableitung von cos (x) ist -sin(x), verstehe ich. Die Ableitung von -sin(x) ist -cos(x). Verstehe ich auch. Also ist y''(x) = -cos(x)
Und wenn y'' = -y und ich sage y'' = -cos(x), dann kann ich auch sagen, das -y = -cos(x) ist.

Verstehe ich alles....

Aber wie soll ich dadrauf kommen?
Ich glaube ich habe da eine grundliegende Vorgehensweise nicht mitbekommen unglücklich

Vielleicht mag mich da mal jemand aufklären smile

Liebe Grüße, Steffi

EDIT:
Ok, im Falle y'' = - y bin ich jetzt selber draufgekommen.
sin(x) und cos(x) sind in der zweiten Ableitung beide negativ.

Das heißt:
wenn y'' = - y und man wählt für y'' = -sin(x) dann weiß man, das y = sin(x)
Naja, wie dem auch sei, das habe ich geschnallt smile

Aber wie nun die normale Herangehensweise bei DGL 2. Ordnung ist, wiel ich leider nicht traurig
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffi_K:
Deiner Frage liegt der Irrtum zugrunde, dass man alle Dgl. formelmäßig lösen könnte. Das ist leider nicht so. Im Gegenteil: Nur für wenige Dgl. ist das möglich. Leider werden in den Lehrbüchern oft nur diese einfachen Fälle behandelt.

Eigentlich ist auch die hier behandelte Dgl nicht formelmäßig lösbar.


Anfangsbdingungen: ,

Im Mittelalter hat dann ein kluger Matrhematiker folgenden Reihenansatz gemacht:



Durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich fand er, dass die geraden Koeffizienten verschwinden, also . Für die ungeraden Koeffizienten fand er mit wechselnden Vorzeichen. Insgesamt lautet die Lösung also



Da diese Lösung einerseits recht unhandlich ist, aber andererseits in der Physik und Geometrie sehr oft vorkommt, hat der Mathematiker Georg von Pauersbach im 15.Jahrhundert für diese Lösung das Symbol "sin(x)" eingeführt (Siehe Wikipedia unter "Sinus").

In modernen Mathematikbüchern (z.B. bei Hans Tribel: "Höhere Analysis") definiert man den Sinus einfach als Lösung des obigen Anfangswertproblems, was die natürliche und historische Definition ist.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
(Siehe Wikipedia unter "Sinus").


@Ehos
Kannst du bitte den Link noch nennen; ich finde leider nichts von Pauersbach.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Wisili
Ich habe einen Fehler gemacht: Der Mann hieß "Peuersbach" nicht "Pauersbach"

Unter dem Suchbegriff "Sinus und Kosinus" findest du bei Wikipedia im Abschnitt "Herkunft des Namens" folgendes

Zitat:
"Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden."
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