Vorbereitung auf die Matheolympiade (2)

18.07.2010, 18:25

Minus

Ich brauche wieder Hilfe.

Es geht um folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 381032 \end{eqnarray*}$

Jemand bildet aus 2 beliebigen rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ zunächst die Zahl $\begin{eqnarray*} z=\frac{xy}{x+y} \end{eqnarray*}$ und dann die Zahl $\begin{eqnarray*} w=\sqrt{x²+y²+z²} . \end{eqnarray*}$
Man beweise, dass jede so entstehende Zahl w eine rationale Zahl sein muss.

da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beide rational sind, sind kann man die beiden Zahlen umschreiben in $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

Zuerst muss ich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bestimmen. Da habe ich glaube ich noch richtig:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{\frac{a²}{bc}}{\frac{ab+ac}{bc}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z² \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a^4}{b²c²}}{\frac{a²b²+2a²bc+a²c²}{b²c²}} \end{eqnarray*}$

Nach dem Umformen und Kürzen folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} z²= \frac{a²}{b²+2bc+c²} \end{eqnarray*}$

Dann addiere ich zu der Zahl $\begin{eqnarray*} z² \end{eqnarray*}$ die Zahlen $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y² \end{eqnarray*}$ und versuche daraus die Wurzel zu ziehen, was nicht klappt. Wo sind mir Fehler unterlaufen ?

Ich habe meinen nur meinen Ansatz geschrieben und ich habe ihn sehr kurz dargestellt. Wenn etwas fehlt, dann bitte sagen. Ich glaube aber, dass ich schon am Anfang einen Fehler gemacht habe, oder den falschen Ansatz gewählt habe.

18.07.2010, 18:50

Mystic

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Warum versuchst du's nicht mit einer Darstellung x=a/c, y=b/c... Zumindestens scheint mir das naheliegender zu sein...

18.07.2010, 18:52

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@Minus

Das Einführen deiner $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ mag nicht schaden, ich sehe aber im vorliegenden Fall keinen zählbaren Nutzen. Massgeblich ist doch, im Zähler von

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 = \frac{(x^2+y^2)(x+y)^2+x^2y^2}{(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

ein vollständiges Quadrat zu entdecken. Jetzt kann man sich nun streiten, auf welche didaktische Art man nun am besten auf

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2)(x+y)^2+x^2y^2 = (x^2+xy+y^2)^2 \end{eqnarray*}$

kommt - jedenfalls klappt es so. Augenzwinkern

P.S.: Die Voraussetzung sollte eher $\begin{eqnarray*} x\neq -y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ lauten, oder?

18.07.2010, 19:22

Minus

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So falsch lag ich nicht, wie ich erwartet habe. Ich muss noch das Faktorisieren üben Augenzwinkern

Schade, dass ich nicht so gut in Geometrie bin, wie in Algebra.

Ups. Ich glaube ich habe einen neuen Thread eröffnet... Aber warum ist die Name von dem Thread gleich ? Ich könnte den Thread nicht benennen.

@ Arthur Dent
Ja, die Voraussetzung müsste $\begin{eqnarray*} x\neq -y \end{eqnarray*}$ lauten.

18.07.2010, 19:52

Mystic

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Zitat:

Original von Minus
Ups. Ich glaube ich habe einen neuen Thread eröffnet... Aber warum ist die Name von dem Thread gleich ? Ich könnte den Thread nicht benennen.

Das hast nicht du gemacht, das haben die "Heinzelmännchen" hier für dich gemacht... Und er heißt ja auch nicht ganz gleich, wenn du genau hinsiehst... Im übrigen ein dezenter Hinweis darauf, für jedes Problem auch einen neuen Thread zu eröffnen...

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