Eigenwerte höherdimensionaler Matrizen

18.07.2010, 23:31	Esinef	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte höherdimensionaler Matrizen Meine Frage: Hallo an alle, ich suche die Eigenwerte einer symmetrischen 3x3 Matrix. Im Prinzip ist das Problem ja relativ einfach. Allerdings sind die Einträge der Matrix selbst wieder 3x3 Matrizen die allerdings nicht symmetrisch sind. Hier mal kurz formal: Gesucht sind die Eigenwerte von K $\begin{eqnarray} <br /> K = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{12} & A_{22} & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> A_{ij} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Normalerweise würde ich das ja berechnen indem ich die Determinante von $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} A_{11} - \lambda & A_{12} & A_{13} \\ A_{12} & A_{22} - \lambda & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} - \lambda \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ 0 setze. Wie mach ich das in diesem Fall? Im Folgenden sei \|A\| die Determinante von A. Meine Ideen sind, dass ich zuerst die Determinanten der $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ berechne, und mit diesen die Eigenwerte aus der Matrix berechne, also: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \|A_{11}\| - \lambda & \|A_{12}\| & \|A_{13}\| \\ \|A_{12}\| & \|A_{22}\| - \lambda & \|A_{23}\| \\ \|A_{13}\| & \|A_{23}\| & \|A_{33}\| - \lambda \end{pmatrix} = 0<br /> \end{eqnarray}$ oder dass ich die Eigenwerte der nichtsymmetrischen 9x9 Matrix berechne.. Also: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \|A_{11} - \lambda\| & \|A_{12}\| & \|A_{13}\| \\ \|A_{12}\| & \|A_{22} - \lambda\| & \|A_{23}\| \\ \|A_{13}\| & \|A_{23}\| & \|A_{33} - \lambda\| \end{pmatrix} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand den richtigen Lösungsweg verraten könnte und mir auch den Algorithmus denn ich zur Berechnung der Eigenwerte benötige nennt oder sogar kurz erläutert (muss aber nicht sein). Viele Grüße Esinef
19.07.2010, 11:06	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibst du dir die Eigenwertgleichung in ursprünglicher Form auf dann siehst du vielleicht leichter wie man vorgehen muss: $\begin{eqnarray} det ( \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{12} & A_{22} & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} - t E_n) = 0 \end{eqnarray}$ Zu beachten ist, dass die Einheitsmatrix in diesem Fall natürlich wie K über der Algebra der 3x3 Matrizen definiert ist.
19.07.2010, 11:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte höherdimensionaler Matrizen Hi Esinef, Also wenn ich Dich recht verstehe, geht es Dir um die Determinantenbestimmung bei 9x9-Matrizen. Leider kann man das im Allgemeinen nicht über Untermatrizen lösen. Ein Gegenbeispiel wäre hier: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&2&1&0\\0&1&2&0\\1&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man das ganze in 2x2-Blöcke unterteilt (sogar alle symmetrisch), liegt $\begin{eqnarray} \det(A)=\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3 \end{eqnarray}$ nahe, aber offensichtlich sind die Zeilen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht linear unabhängig und somit $\begin{eqnarray} \det(A)=0 \end{eqnarray}$ . Einen Ausnahmefall, wann man so was trotzdem machen kann, findest Du hier Für Deine 9x9-Matrizen sehe ich im Moment leider keinen Ansatz, wie man da sinnvoll diese leichte Symmetrieeigenschaft ausnutzen kann. Gruß, Reksilat.
19.07.2010, 15:14	Esinef	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Danke schonmal für eure Antworten. Ich denke ich sollte mein Problem doch noch etwas ausführlicher erläutern, da die Berechnung der Eigenwerte nur ein Teilproblem ist. Also eigentlich möchte ich folgende Gleichung lösen $\begin{eqnarray} W = K^{-1}Y \end{eqnarray}$ dabei sind beinhaltet Y Abstände zwischen 3-dimensionalen Punkte und W sind Koeffizienten die ich berechnen möchte. $\begin{eqnarray} W = [ \vec{c_1} \vec{c_2} ... \vec{c_N}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y = [ \vec{p_1} \vec{p_2} ... \vec{p_N}] \end{eqnarray}$ K ist eine Matrix die, die Funktionswerte einer Funktion G unter bestimmten Eingabewerten beinhaltet. Die Definitionsmenge dieser Funktion ist wieder ein 3d-Punkt die Zielmenge besteht aus 3x3-Matrizen. $\begin{eqnarray} K =\begin{pmatrix} G(a_{11}) & G(a_{12}) & G(a_{13}) \\ G(a_{21}) & G(a_{22}) & G(a_{23}) \\ G(a_{31}) & G(a_{32}) & G(a_{33}) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die gleichung zu lösen, möchte ich die Tikhonov Regularisierung nutzen. Diese ist: $\begin{eqnarray} minimiere \|\|KW-Y\|\|^2-\alpha\|\|W\|\|^2 \end{eqnarray}$ Ich habe nun herausgefunden, dass ich die Tikhonov Regularisierung vereinfachen kann indem ich die Singulärwertzerlegung von K berechne. Diese sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} K = U\SigmaV^ \end{eqnarray}$ . U und V sind unitäre Matrizen und $\begin{eqnarray} Sigma \end{eqnarray}$ ist eine Diagonalmatrix. Um die Singulärwertzerlegung bestimme ich zuerst eine Matrix $\begin{eqnarray} A = K^TK \end{eqnarray}$ , von der ich dann die Eigenwerte und Eigenvektoren benötige. Dadurch dass ich die Transponierte von K mit K multiplizere sollte A ja symmetrisch sein. Die Einträge der Matrix sollte ja aber nicht symmetrisch sein.. ? Oder müssen die Einträge beim Transponieren mit transponiert werden? Dann wären auch die Einträge von A symmetrisch. Also im Prinzip ist meine Frage wie ich die Eigenwerte der oben beschriebenen Matrix A berechnen kann und ob es dafür einen geeigneten Algorithmus gibt? Ich habe zwar bei wikipedia einige Algorithmen zur Eigenwertberechnung gefunden, ich bin mir aber nicht sicher welchen ich verwenden muss. Grüße Esinef
19.07.2010, 15:47	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, dass oben $\begin{eqnarray} N=9 \end{eqnarray}$ sein soll. Also $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ sind 9-dimensional und $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist eine 9x9-Matrix. Eine Singulärwertzerlegung ist eh nur für Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ definiert, d.h. das Ganze als 3x3-Matrix mit Einträgen aus einem Matrizenring zu interpretieren wird hierfür wohl nicht funktionieren. Transponieren der Matrix bedeutet dann eben auch, die Matrix als 9x9-Matrix mit Einträgen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ zu interpretieren: Es ist $\begin{eqnarray} K^T =\begin{pmatrix} G(a_{11})^T & G(a_{21})^T & G(a_{31})^T \\ G(a_{12})^T & G(a_{22})^T & G(a_{32})^T \\ G(a_{13})^T & G(a_{23})^T & G(a_{33})^T \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist dann dementsprechend auch symmetrisch.

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