Bijektivität von sin²a bzw. cos²a

19.07.2010, 11:29

Auraya

Bijektivität von sin²a bzw. cos²a

Für eine Ausarbeitung soll ich in der Nachbearbeitung noch die Bijektivität von sin²a und cos²a für $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ zeigen.

Meine Dozentin meinte dazu, dass ich dies aus den Gleichungen schnell zeigen kann.
$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha = \frac{1- \cos (2\alpha)}{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos (2\alpha)}{2} \end{eqnarray*}$

Die Bijektivität ist erfüllt, wenn die Injektivität und Surjektivität erfüllt ist. Da es sich bei den trigonometrischen Funktionen um Perioden handelt, kann dies immer nur für bestimmte Wertebereiche gezeigt werden. Für den Bereich $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ kann die Injektivität ja gezeigt werden, da hier jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ genau einen "y"-Wert annimmt.

Also:

Für Injektivität gilt, dass jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ genau ein y existiert sodass $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=y \end{eqnarray*}$ gilt. Also für alle $\begin{eqnarray*} \alpha_1,\alpha_2 \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ muss gelten $\begin{eqnarray*} f(\alpha_1)=f(\alpha_2) \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha = \frac{1- \cos (2\alpha)}{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1- \cos (2\alpha_1)}{2} = \frac{1- \cos (2\alpha_2)}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \cos (2\alpha_1) = - \cos (2\alpha_2) \end{eqnarray*}$

und für

Für $\begin{eqnarray*} \cos^2 \alpha = \frac{1+ \cos (2\alpha)}{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+ \cos (2\alpha_1)}{2} = \frac{1+ \cos (2\alpha_2)}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos (2\alpha_1) = \cos (2\alpha_2) \end{eqnarray*}$

Aus der Eindeutigkeit solcher Gleichungen und den Wertebereich $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ folgt doch nun, dass $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = \alpha_2 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Also ist die Injektivität erfüllt, da für jeden "x"-Wert genau ein "y"-Wert existiert.

Für die Surjektivität muss ich doch nun aber auch den Wertebereich für "y" ermitteln, in der die Surjektivität in dem Bereich $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ gilt.

Surjektivität gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \forall y\in Y \exists \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}): f(\alpha)=y \end{eqnarray*}$ gilt. Nun muss ich nur Y noch näher betrachten, weil ja nicht alle y-Werte getroffen werden. Von den "normalen" Funktionen sin und cos weiß ich, dass der Wertebereich bei $\begin{eqnarray*} Y\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ gilt. Aber hier handelt es sich ja um sin² und cos². Daher weiß ich gerade nicht, wie ich da vorgehen soll.

Hintergrund des Ganzen ist die Zeigung der Rückrichtung bei einer Ellipse für eine bewegliche Gerade. Sprich: Bei einer Strecke AB, wobei A auf der x-Achse und B auf der y-Achse liegt und um den Koordinatenursprung ein Kreis mit dem Radius AB liegt, kann ein Punkt M auf der Strecke liegen. Die Strecke AB ist beweglich auf der x bzw y achse, die Länge bleibt aber identsich (vielleicht kennt ihr die "Leiteraufgabe" hierzu (Leiter, die an der Wand runter rutscht)). Liegt der Punkt M nicht auf den Punkten A,B und dem Mittelpunkt der Strecke AB, so beschreibt die Ortskurve eine Ellipse. In der Hinrichtung habe ich gezeigt, dass eine Ellipse entsteht. In der Rückrichtung habe ich gezeigt, dass es zu jeder Ellipse eine solche Strecke AB gibt, wobei der Radius des Kreises sowie die Länge der Strecke zu beachten ist. Dazu betrachte ich zwei Winkel alpha (a) und beta (b), wobei die Gleichung sin²a + cos²b = 1 damit aufgestellt werden kann. Ich nehme vorerst an, dass im Punkt M auf der Ellipse ein Knick in der Strecke AB ist.

Aus der Vorlesung Funktionen und Gleichungen ist bekannt, dass sin²a +cos²a = 1
ist. Die Funktionen sin²a und cos²a sind auf jeweils $\begin{eqnarray*} a \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ bijektiv. Da im Vorhergehenden a und b beide Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sind, gilt: $\begin{eqnarray*} 0\leq \alpha ,\beta \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt nun, dass a = b sein muss und somit kein Knick in der Strecke ist, sondern die Punkte A,B und M auf einer Strecke liegen. Das mit der bijektivität habe ich gesagt, weil der Knick auch nach unten zu einem anderen Schnittpunkt mit der y-Achse führenkann, wodurch der Knick tatsächlich entstehen würde.

Und nun hat meine Dozentin noch die Aufgabe gestellt, dass ich durch das oben noch "schnell" zeigen soll, dass die bijektivität gilt.

19.07.2010, 11:38

Felix

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Der Zielbereich ist natürlich das Intervall [0,1] (Etwas fahrlässig vom Aufgabensteller das nicht anzugeben). Es sollte dir ja bekannt sein, dass sin und cos in $\begin{eqnarray*} [0, \pi/2] \end{eqnarray*}$ streng monton sind. Für eine streng monton Funktion f die nur Werte größergleich 0 annimmt ist auch $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ eine strengmonotone Funktion. Daher sind auch $\begin{eqnarray*} sin^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0, \pi/2] \end{eqnarray*}$ streng monoton und daher injektiv. Die Surjektivität folgt nun aus dem Zwischenwertsatz.

19.07.2010, 11:49

Auraya

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Ja, die Monotonie ist mir bekannt, daher war mir ja eigentlich klar, dass in dem Wertebereich das bijektiv ist. Für sin streng steigend und cos streng fallend.

Und ich stelle gerade fest, dass ich Begriffsstutzig bin. Natürlich ist das Intervall [0,1], da ja sin bzw. cos Werte in dem Bereich ergeben und sin*sin bzw. cos*cos maximal 1 minimal 0 ebenfalls erreichen können .. (Ich habe sozusagen nen Denkfehler bei der Quadrierung gehabt, wobei eine Kommazahl bzw. ein Bruch quadriert ja kleiner wird als die Ausgangszahl.)

Sie hat nur leider ganz klar gesagt, dass ich es über diese Gleichungen zeigen soll. KA was sie mit mir anstellt, wenn ich es nun anders begründe. Ist daher meine Überlegung zur Injektivität schonmal richtig?

19.07.2010, 11:59

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Zitat:

Original von Auraya
$\begin{eqnarray*} \cos (2\alpha_1) = \cos (2\alpha_2) \end{eqnarray*}$

Aus der Eindeutigkeit solcher Gleichungen und den Wertebereich $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ folgt doch nun, dass $\begin{eqnarray*} \alpha_1 = \alpha_2 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Ich denke, den Punkt solltest du noch etwas besser deutlich machen: Dass für $\begin{eqnarray*} \alpha_i \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} 2\alpha_i \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ gilt, und dass der Kosinus in diesem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und damit bijektiv ist.

19.07.2010, 13:57

Auraya

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Die Injektivität habe ich nun gezeigt, aber mir fehlt noch die Surjektivität. Hier muss ich leider auch zugeben, dass ich nicht mehr ganz weiß, wie man die Surjektivität zeigt. Der Hinweis auf den Zwischenwertsatz hilft mir leider nicht, da er mir nicht bekannt ist.

19.07.2010, 14:25

Felix

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Du kennst doch sicher die Aussage, dass eine auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetige Funktion alle Werte zwischen $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ annimmt. Das ist nicht allzu schwer herzuleiten, funktioniert z.B. über Intervallschachtelung. Mich würde es aber wirklich wundern, wenn du diesen Satz nicht kennst.

Alternativ kannst du natürlich auch mittels deiner Gleichungen über die Surjektivität von Kosinus und Sinus argumentieren.

19.07.2010, 14:42

Auraya

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Die Stetikeit haben wir noch nicht gezeigt, nur immer am Rande erwähnt, da sie erst in Master Semester 1 in Mathe gezeigt wird.

19.07.2010, 16:03

Felix

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Zitat:

Die Stetikeit haben wir noch nicht gezeigt, nur immer am Rande erwähnt, da sie erst in Master Semester 1 in Mathe gezeigt wird.

Was studierst du denn verwirrt

Wie auch immer wenn du von der Stetigkeit nicht ausgehen darfst, dann versuch doch mal die Alternative die ich dir vorgeschlagen habe.

19.07.2010, 21:57

Auraya

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Bachelor of Arts "Vermittlungswissenschaften" in Flensburg (Sprich: Lehramt).

Und ja, ich frage mich manchmal auch, was ich studiere. Gerade nach der heutigen Klausur zur Modellbildung und Simulationen oO. Unsere einzige richtige Mathedozentin wird zum Semesterende die Uni verlassen, weil sie nach eigener Aussage im Matheinstitut nicht über Mathe sich unterhalten kann. Und wir, die mit ihr unser Studium begonnen haben und wenigstens etwas anständig Mathe gelehrt bekamen, sind darüber sehr traurig.

Also .. Surjektivität ...

Es gilt weiterhin die oben genannten Gleichungen für sin²a und cos²a. Aus cos(2a) mit a in[0,pi/2] uns somit 2a in [0,pi] folgt, dass cos(2a) den Wertebreich [-1,1] annimmt, wobei der Kosinus hier monoton fallend ist.

Laut Definition gilt: Für alle y in Y gibt es (mindestens) ein x in X, sodass f(x) = y gilt.
In meinem Fall ist X der Bereich [0,pi/2].
Nun betrachte ich die Gleichungen von oben und die Überlegung, dass cos(2a) den Wertebereich [-1,1] aufweist (stetig wäre jetzt sicher, dass hier alle Werte getroffen werden, es also keine Unterbrechung gibt, oder?). Für
$\begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(2a)}{2} = y \end{eqnarray*}$
Kann nun geschlossen werden, dass hier für y die Werte [0,1] angenommen werden( wenn man den minimalen und maximalen Wert für cos(2a) betrachtet). Daraus folgt doch nun, dass die Funktion im bereich [0,1] surjektiv ist.
(Analog für - natürlich auch zu sagen, da ist es aber auch der gleiche bereich)

20.07.2010, 13:05

Felix

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Zitat:

Nun betrachte ich die Gleichungen von oben und die Überlegung, dass cos(2a) den Wertebereich [-1,1] aufweist (stetig wäre jetzt sicher, dass hier alle Werte getroffen werden, es also keine Unterbrechung gibt, oder?)

Das alle Werte getroffen werden folgt aus der Surjektivität. Diese lässt sich aber wie du richtig erkannt hast aus der Stetigkeit folgern, eben mithilfe des Mittelwertsatzes.

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(2a)}{2} = y \end{eqnarray*}$ Kann nun geschlossen werden, dass hier für y die Werte [0,1] angenommen werden( wenn man den minimalen und maximalen Wert für cos(2a) betrachtet). Daraus folgt doch nun, dass die Funktion im bereich [0,1] surjektiv ist.

Das würde ich etwas präzesieren:

Welchen Wert muss cos(2a) annehmen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(2a)}{2} = y \end{eqnarray*}$ gilt? Gibt es ein a für das cos(2a) diesen Wert annimmt?

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