Polynomring

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring
Hier nun eine Aufgabe zu einem Polynomring.

Vorab : Polynomringe sind meine ABSOLUTE Schwäche. Mittwoch ist meine Klausur und ich bin eigentlich in allem fit. Nur diese verdammten Polynomringe sind für mich noch sehr eklig. traurig

Sei k ein Körper. Wir bezeichnen mit

:= { f k[X] | f = 0 oder def (f) d }

die Menge der Polynome vom Grad höchstens d.

(i) Zeigen Sie, dass V = ein vierdimensionaler - Vektorraum ist.

(ii) Zeigen Sie, dass W = { | f (-1 ) = f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 } ein Untervektorraum von V ist.

(iii) Geben Sie eine Basis von W an.

Fangen wir mal mit (i) an.

Ich würde sagen, dass wir ja hier eine Basis haben .

Da ja für endliche Mengen gilt : , hätte man hiermit also gezeigt, dass es ein vierdimensionaler Vektorraum ist. odeeer? ^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gezeigt hast, dass das eine Basis ist, dann wäre das damit erledigt, ja smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ist dass denn noch fragwürdig?
Linear unabhängig sind diese 4 Elemente doch auf jedenfall und ein Erzeugendensystem bilden sie auch für den . Dennman kann ja jedes andere Polynom vom Grad kleiner gleich 3 mit diesen 4 darstellen.
Oder täusche ich mich da gerade?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du täuschst dich nicht, allerdings sollte das als Begründung dabei stehen Augenzwinkern

Erzeugendensystem ist klar, und linear unabhängig ist auch leicht einzusehen -> Basis
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (ii)

Also so wie ich das sehe, gibt es nur ein Polynom für diese Definition.

Es müssen ja bei x = -1 , 1 , 2 Nullstellen sein. Das ergibt dann also

( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) =

Oder gibt es doch noch mehr?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du doch gar nicht zeigen. Du sollst zeigen, dass W=... ein UVR ist, was muss dafür erfüllt sein?

Edit: Und ja, es gibt noch mehr Polynome die das erfüllen.
 
 
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist mir bewusst, es ging mir erstmal nur um diese Überlegung.

Untervektorraumkriterien sind natürlich , dass

- W ist eine Untergruppe von V

- man kann ein Element aus diesem Unterraum mit einem Skalar aus dem Körper multiplizieren und bleibt im Unterraum.

Meine Ergebnisse kommen noch gleich ^^
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also fangen wir doch mal mit dem zweiten an.

Wenn ich zum Beispiel mein Polynom von gerade mit einer reelen Zahl multipliziere, ändern sich die Nullstelen nicht. Allerdings habe ich das nur ausprobiert. Mir ist nicht klar, wie ich das allgemein zeigen / beweisen kann.

Untergruppenkriterien sind ja , dass die Untergruppe bzgl. der Multiplikation zweier Elemente abgeschlossen ist und dass es auch ein Inverses in dieser Untergruppe gibt.

Wenn ich doch 2 Polynome vom dritten Grad aus der Untergruppe nehme und diese Multipliziere , hat das Ergebnis zwar einen höheren Grad , also Grad 6 , aber die 3 Nullstellen müssten ja dann erhalten bleiben, Auch da fehlt mir irgendwie ein Ansatz , um aus meiner Vermutung einen vernünftigen Beweis zu gestalten. verwirrt

Auch das mit den Inversen fällt mir nicht leicht.

Wenn ich zum Beispiel nach dem multiplikativen Inversen zu meinem Beispiel suche , dann hätte ich ja

= 1

Das wäre ja dann

= 1

Die Frage die sich mir stellt ist , ob dieser Bruch Element ders Unterraumes ist? Eigentlich nicht :/ Wie kann ich also sonst ein Inverses dazu finden?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da geht einiges durcheinander.

Die Kriterien nennst du zwar richtig, wendest sie aber vollkommen falsch an. Du sollst deine Vektoren(=Polynome) nicht multiplizieren, die werden addiert, also wird auch der Grad nicht größer (ansonsten wäre die Verknüpfung nicht abgeschlossen).

Alternativer Vorschlag: Guck dir mal diese äquivalenten Kriterien für einen Unterraum an, damit wird das ein 2-Zeiler smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar habs sofort gecheckt. ^^
Und da schreibe ich doch so viel Schmarn dahin. verwirrt

Ok dann mache ich mi nun Gedanken zu (iii) und meld mich gleich wieder.


Edit :

Also alle Polynome dieses Unterraumes müssen sich ja irgendwie auf diese Gestalt zurückführen lassen können :

( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) ... von mir aus noch irgendwelche Zahlen.

Auf jedenfall müssen in der Basis die 1 und das x enthalten sein. Aber danach weiß ich leider nicht mehr weiter.

Es ist doch nicht etwa wieder B = { ) ?

Denn mit dieser Basis können wir wie bereits erwähnt jedes Polynom kleiner gleich dritten Grades dasrstellen. Allerdings muss eine Basis ja ein minimales Erzeugendensystem sein. Und mit dieser Basis erhalten wir ja mehr Polynome , als nur die Polynome mit de 3 Nullstellen. Ich weiß an der Stelle leider nicht mehr weiter. unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Magst dann deine Sachen zur (ii) noch schnell mitschreiben? Augenzwinkern

Oder bist du dir dabei ganz sicher?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Und ja da bin ich mir eigentlich ziemlich sicher. ^^

Hab oben nen Edit geschrieben zu (iii)
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht zur Sicherheit doch nochmal zu (ii)

Für unseren Unterraum haben ich ja erwähnt , dass die Polynome die Gestalt

( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )

haben müssen.

Wenn ich diese Form also nun mit irgendwelchen Faktoren aus K multipliziere , habe ich halt

( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) a .

Aber das ändert die Nullstellen ja nicht, also ist die Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Nun zur Abgeschlossenheit der Addition zweier Elemente des Unterraumes.

Wenn ich also wieder 2 Polynome aus diesesm Unterraum nehme mit der erwähnten Gestalt

( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) + ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )

dann ändern sich die Nullstellen ja nicht, da man praktisch nur mit 2 multipliziert , aber die Abgeschlossenheit der Multiplikation ist ja bereits gezeeigt.

Ist das so korrekt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring
Zitat:
Original von Reneee

(i) Zeigen Sie, dass V = ein vierdimensionaler - Vektorraum ist.

(ii) Zeigen Sie, dass W = { | f (-1 ) = f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 } ein Untervektorraum von V ist.

(iii) Geben Sie eine Basis von W an.



zu (i) eine Basis angeben. klassische Momombasis.

zu (ii) die Verlinung von Iorek

zu (iii) die besondere Struktur ausnutzen. Du kennst 3 Nullstellen eines Polynoms vom Maximalgrad 3. Wie viele Nullstellen kann so ein Polynom haben? Wo ist der Freiheitsgrad?

Für alle gilt: .
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Polynom vom Grad 3 kann ja höchstens 3 haben. Und hier haben die Polynome ja per Definition immer 3 bestimmte Nullstellen.

Der Begriff Freiheitsgrad sagt mi nichts und ich habe auch keinen für mich gut erklärenden Artikel im Internet zu diesem Begriff gefunden. Könntest du mir kurz erklären, was das ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Damit meine ich, dass ein Polynom dritten Grades durch 3 Nullstellen nciht eindeutig bestimmt ist. Was könnte das mit meinem a zu tun haben?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also willst du nun darauf hinaus , dass nicht jedes Polynom mit diesesn 3 Nullstellen gleich aussieht , da man ja mit diesem a die Polynome weiter noch oben / unten strecken kann?

Edit : Übrigens glaube ich nun verstanden zu haben , was Freiheitsgerade sind. ^^

Edit 2 : Unser a ist doch nun hier ein Freiheitsgrad oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal an tigerbine fürs kurzfristige Einspringen smile

Zitat:
Original von Reneee
Also willst du nun darauf hinaus , dass nicht jedes Polynom mit diesesn 3 Nullstellen gleich aussieht , da man ja mit diesem a die Polynome weiter noch oben / unten strecken kann?


Ja, wenn du ein Polynom mit einem Skalar multiplizierst, hat es natürlich weiterhin die selben Nullstellen.

Kannst du jetzt mit dem Wissen über die Freiheitsgrade etwas über eine Basis von W sagen?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dieses a dann nun in meine Basis mitreinziehen?

Also normalerweise ist ja die Basis für Polynome kleiner gleich dritten Gerades

B = { }

Also wäre für meine nun

B` = { }

Hm , naja irgendwie ist das von mir mehr geraten als gewusst. :/
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, das stimmt so nicht, du hast da jetzt wieder eine Basis für angegeben, du sollst ja aber eine für bestimmen.

tigerbine hatte dir doch schon vorgegeben, dass für alle gilt: mit beliebig, alle Polynome in sind also von dieser Gestalt, das musst du bei der Wahl deiner Basis also berücksichtigen.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mit deinem letzten Post nochmal verstanden worauf du hinauswillst, aber ich habe keine Ahnung , wie ich mein a ansonsten in meiner Basis beachten kann, als ich es getahe habe.

Ich habe einmal versucht mit meiner Basis das Polynom darzustellen

a ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) =

Wenn ich versuche dies als Linearkombination meiner Basis darzustellen , habe ich Erfolg.


=

Hier wären meine Leitfaktoren ja nun

b = 1
c = -2
d = -1
e = 2

Gibt es Polynome , welche ich nicht damit darstellen kann oder gibt es etwa eine noch einfachere Basis?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du das denn jetzt ausmultiplizieren? verwirrt

Hast du verstanden was es heißt (und vor allem wieso es so ist), dass alle Elemente aus zwingend von der Form sind? Und überleg nochmal was ein Erzeugendensystem ist, dann kannst du das mit dem sehr schnell abhaken.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie kriege ich es nicht gebacken.

Ich glaube ohne einen weiteren Tipp schaffe ichs wohl nicht.

Ich denke aber trotzdem nochmal bis morgen Abend darüber nach. Ansonsten müsste ich wohl oder übel mal was vorgesagt bekommen. Vielleicht hab ich auch gerade nur ein Brett vorm Kopf.

Bis morgen Abend. ^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren dieses VR sind Polynome .... Ein Element von W ist sicher das Polynom (x+1)(x+1)(x-2)... Was könnte das a dann wohl sein.... Ein Skalar ....
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hat meinen Basis vielleicht in etwa folgende Gestalt?

B` = { }

Also ich habe mir gedacht , dass ich diese 3 Nullstellen da mitreinziehe. Weil ich mit ihnen alleine aber x^3 und x^2 noch nicht darstellen kann, habe ich hinter der ersten Klammer noch ein x^2 und hinter der zweiten ein x gehängt.

Nur das a konnte ich immer noch nicht verwenden. :/

Edit : Oh ich glaube ich habe jetzt ausversehen noch eine vierte Nullstelle bei x = 0 damit eingeaut. Schade aber auch. ^^
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend siehst du den Wald vor lauter Bäumen nicht ... Augenzwinkern
Du hast einen Basisvektor, das ist das Polynom (x-1)(x+1)(x-2). Alle Vektoren von W haben die Form a(x-1)(x+1)(x-2). Gesucht ist eine Basis von W, da muss man nicht lange suchen. Big Laugh
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Soll dieses a... jetzt schon meine Basis sein? Also hätte meine Basis nur ein Element?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Polynom ist ein Basisvektor. a ist ein Skalar. Die Idee, dass genau ein Basisvektor genügt, um W zu erzeugen, ist richtig gut.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reneee
Soll dieses a... jetzt schon meine Basis sein?


Nein

Zitat:
Original von Reneee
Also hätte meine Basis nur ein Element?


Ja, deine Basis hat nur ein Element, aber nicht das a Augenzwinkern

Eine Basis ist ja insbesondere ein Erzeugendensystem. Jetzt wissen wir, dass alle und wirklich alle Polynome aus dem Unterraum von der Form sein müssen, wobei eine beliebige, reelle Zahl ist. Die Menge entspricht nach den Rechnungen oben unserem und diese kann man jetzt auch schreiben als . Siehst du jetzt die richtige Basis? smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist meine Basis

B = { (x-1)(x+1)(x-2) }

und das a wäre dann einfach nur der Leitfaktor , den ich brauche um jedes Polynom darzustellen.

Das ist meine erste Idee für diese Basis , welche sich für mich sinnvoll anhört. ^^

Edit : Was heißt hier meine Idee? Hehe smile

Jetzt frage ich mich dann nur , wenn doch die Kardinalität der Basis gleich der Dimension des Vektorraumes sein soll , hat dieser Vektorraum nun dim = 1 ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich auch total logisch , was hat denn nur die ganze Zeit meine Augen zugehalten. Forum Kloppe smile

Danke für eure Geduld. ^^
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem für Anfänger in der Linearen Algebra besteht oft darin, dass sie bestimmte Vorstellungen mit dem Begriff "Vektor" verbinden. Diese Vorstellungen verhindern dann den Blick auf Polynome oder Funktionen oder andere Objekte, die als Vektoren auftreten. Merke: "Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes" - und sonst nichts.
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