Frage zur Hesse-Matrix/Extremstellen

19.07.2010, 21:59

12345678

Frage zur Hesse-Matrix/Extremstellen

Meine Frage:
hallo alle zusammen,

ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem beim Thema Extremstellen bei Funktionen mehrerer Veränderlicher. Ich weiß, dass in einem kritischen Punkt $\begin{eqnarray*} $x_0$ \end{eqnarray*}$ ein Maximum vorliegt, wenn die Hesse-Matrix in diesem Punkt $\begin{eqnarray*} $x_0$ \end{eqnarray*}$ negatif definit ist, andersrum für ein Minimum und wenn sie indefinit ist, gibt es dort keine Extremstelle.
Jetzt haben wir dazu zwei Beispielaufgaben gehabt und da bin ich ein bisschen verwirrt...

Meine Ideen:
Aufgabe 1)
$\begin{eqnarray*} $f(x,y):=2x^3-3x^2+2y^3+3y^2$ \end{eqnarray*}$ So, mich interessiert jetzt der kritische Punkt $\begin{eqnarray*} $P=(1,0)$ \end{eqnarray*}$ Die Hesse-Matrix sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} $f''(1,0)=\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$ , woraus wir dann sofort gefolgert haben,dass diese positif definit ist und hier ein Minimum vorliegt. Aber ich verstehe gerade nicht mehr, warum... Wenn ich die Determinante berechne, ist diese doch null!

Und dann bei dieser Aufgabe 2)
$\begin{eqnarray*} $f(x,y):=x^3-x^2y+\frac{y^3}{3}+x^2$ \end{eqnarray*}$ sieht die Hessematrix im kritischen Punkt $\begin{eqnarray*} $P=(0,0)$ \end{eqnarray*}$ ganz ähnlich aus:
$\begin{eqnarray*} $f''(0,0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$
Aber hier konnten wir dann nicht sofort schlussfolgern,ob ein Extremum vorliegt,sondern haben $\begin{eqnarray*} $f(0,y)=\frac{y^3}{3}$ \end{eqnarray*}$ betrachtet und so festgestellt,dass dort kein Extremum vorliegt.

Es wäre sehr nett,wenn mir jemand helfen könnte!
Gibt es noch andere Methoden zur Berechnung der Definitheit als das Hurwitzkriterium?

danke schon mal im Voraus!

19.07.2010, 22:13

wogir

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RE: Frage zur Hesse-Matrix/Extremstellen

Zitat:

Original von 12345678
Meine Ideen:
Aufgabe 1)
$\begin{eqnarray*} $f(x,y):=2x^3-3x^2+2y^3+3y^2$ \end{eqnarray*}$ So, mich interessiert jetzt der kritische Punkt $\begin{eqnarray*} $P=(1,0)$ \end{eqnarray*}$ Die Hesse-Matrix sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} $f''(1,0)=\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$

Nö.

20.07.2010, 01:01

Dalice66

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RE: Frage zur Hesse-Matrix/Extremstellen
Hi,

ich habe mir gerade deinen Beitrag mal durchgelesen...

Zu beiden Aufgaben kann ich feststellen, dass für die notwendigen Bedingung für eine Extremstelle gilt: Gradient f(x,y) =0

Das heißt, du musst beides mit x und y ableiten.

Wenn ich das nun richtig deute, kommt dann folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6x^2 & -6x \\ 6y^2 & -6y \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Weiter gilt nun, wenn du z. B. die y-Zeile mal umstellst:

$\begin{eqnarray*} 6y^2=6y \end{eqnarray*}$

Das gleiche gilt nun für die x-Zeile.

Somit kann dein krit Punkt nicht stimmen. Mache erstmal ab hier weiter...

20.07.2010, 09:27

12345678

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Hallo! Danke erstmal für die Antworten...

Aber mein Gradient sieht doch so aus:

$\begin{eqnarray*} $f'(x,y)=(6x^2-6x, 6y^2+6y)$ \end{eqnarray*}$ oder etwa nicht? Dann ist doch $\begin{eqnarray*} $P=(1,0)$ \end{eqnarray*}$ ein kritischer Punkt!?

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} $f''(x,y)=\begin{pmatrix} 12x-6 & 0 \\ 0 & 12y+6 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$ meine Hesse-Matrix und im Punkt P also $\begin{eqnarray*} $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$ ...

Ich sehe im Moment nicht, was daran falsch sein soll...

danke für weitere Vorschläge...

20.07.2010, 09:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von 12345678
Dann ist doch $\begin{eqnarray*} $f''(x,y)=\begin{pmatrix} 12x-6 & 0 \\ 0 & 12y+6 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$ meine Hesse-Matrix und im Punkt P also $\begin{eqnarray*} $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$ ...

So, so.

Rechne nochmal genau nach.

20.07.2010, 09:48

12345678

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ähm, ja, ok, blöd...

danke.

dann stehen da also zwei sechsen und damit ist die Matrix positiv definit.

Dann nur noch eine Frage: Wenn die Matrix also so aussieht, wie in Aufgabe 2, wenn die Determinante der Hesse-Matrix also null ist, dann kann ich nicht sofort sagen,ob ein Extremum vorliegt, ist das richtig?

danke und ich gehe dann noch mal rechnen üben...^^

20.07.2010, 10:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von 12345678
Dann nur noch eine Frage: Wenn die Matrix also so aussieht, wie in Aufgabe 2, wenn die Determinante der Hesse-Matrix also null ist, dann kann ich nicht sofort sagen,ob ein Extremum vorliegt, ist das richtig?

Richtig.

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