Integration

20.07.2010, 10:06	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Hallo, hätte kurz verschiedene Fragen zur Integration weil ich ein Referat halten muss und beim Zusammenfassen einiger Informationen haben sich Fragen ergeben. 1) Riemansches Integral ist das einfach das bestimmte Integral? Oder ist das Riemansche Integral die Streifenmethode? Also das man die Fläche in Rechtecke aufteilt und dann die Anzahl der Streifen(Rechtecke) gegen unendlich gehen lässt. 2) Frage zur Substitution an ganz einfachem Beispiel $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(2x-3)^2} \, dx \end{eqnarray}$ Dann substituire ich u = 2x-3. Und jetz die Frage was ist der Grund warum ich dann sagen muss. $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = 2 \end{eqnarray}$ und des eben nach dx auflösen muss und auch noch einsetzen???? 3) In einem Thread ist die Frage aufgekommen wie die Stammfunktionen von 1/x ausschauhen wenn man negative x-Werte einsetzt. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{x} \, dx = ln\|x\| \end{eqnarray}$ aber des ergibt sich doch weil man einfach den Betrag von \|x\| nimmt oder? Oder wie macht man des gewöhnlich? Vielen Dank schonmal mfg Aisbaer
20.07.2010, 10:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
ad 1): Beides. Das bestimmte Integral kann man mit der Streifenmethode ausrechnen, also mit einer Summe. ad 2): Dahinter steckt, dass die Funktion eben eine Ableitung besitzt und die beim Integrieren "abgefangen" werden muss. ad 3): Richtig. Damit das auch mit negativen Werten klappt, nimmt man den Betrag.
20.07.2010, 10:25	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) also das Riemansche Integral ist einfach das bestimmte Integral und derjenige hat auch die Methode erfunden mithilfe der Summe es zu berechnen? Kann man des dann die Riemansche Methode nennen? zu 2) Sorry die Anwtwort versteh ich nicht ganz. Könntest du etwas genauer drauf eingehen? Welche funktion hat ne ableitung? die ich substituiere oder mein komplettes Integral? Vielen Dank für die schnelle Antwort schonmal :-)
20.07.2010, 10:36	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
ad 1): Umgekehrt - derjenige, der das Riemann-Integral erfunden hat, der hat die ganzen Integrale mit Summen berechnet. Das ganze über Stammfunktionen zu machen, kam erst später. ad 2): Die Funktion, die du substituierst, hat eine Ableitung. $\begin{eqnarray} \int g'(x) \cdot f(g(x)) dx = F(g(x)) + c \end{eqnarray}$ , wobei F eine Stammfunktion von f ist. Und wenn du das ableitest, dann kommt eben die innere Ableitung noch mal multipliziert hinterher. In den oben Integral kannst du also so substituieren: $\begin{eqnarray} u = g(x) \Rightarrow \frac{du}{dx} = g'(x) \end{eqnarray}$ Wenn du das jetzt nach du auflöst, dann ist $\begin{eqnarray} du = g'(x) dx \end{eqnarray}$ , das kannst du schön ersetzen. Dein obiges Integral wird dann zu $\begin{eqnarray} \int f(u) du \end{eqnarray}$ Und hier ist dieses g' eine Konstante, die du sofort hinschreiben kannst. Ein 0.5 im Integral, eine 2 davor.

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