Hypothesentest

20.07.2010, 11:02

Zari

Hypothesentest

hallo erstmal..
ich hab ein problem beim verständnis von hypothesentest..
vielleicht könnt ihr mir einfach beim folgenden beispiel helfen und sagen, was ich denn falsch mache..

aufgabe: ein experiment mit einer unbekannten erfolgswahrscheinlichkeit p werde 20 mal hintereinander ausgeführt. die ausgänge der experimente werden als voneinander unabhängig angenommen. insgesamt werden 5 erfolge verzeichnet.

a) testen sie die nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 : p = 0,4 \end{eqnarray*}$ gegen die alternative $\begin{eqnarray*} H_1 : p \neq 0,4 \end{eqnarray*}$ zu einem signifikanzniveau von $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,05 \end{eqnarray*}$

b) testen sie die nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 : p \geq 0,4 \end{eqnarray*}$ gegen die alternative $\begin{eqnarray*} H_1 : p < 0,4 \end{eqnarray*}$ zu einem signifikanzniveau von $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,05 \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt einfach einen binomialtest gemacht.

a) hier soll gelten: $\begin{eqnarray*} P_{n=20;p=0,4} (X=5) \leq 0,05 \end{eqnarray*}$ . aus der tabelle für die binomialverteilung folgt allerdings für n=20, p=0,4 und k=5 ein wert von 0,0545. damit wird die nullhypothese verworfen und die alternativhypothese angenommen.

b) hier hab ich ein problem mit dem p.. ich weiß nicht genau, wie ich das handhaben soll, wenn $\begin{eqnarray*} p \geq 0,4 \end{eqnarray*}$ gefordert wird..

ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt und dass ihr mir weiterhelfen könnt Augenzwinkern

20.07.2010, 15:14

Zari

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habe bei a) einen fehler gemacht..
die nullhypothese wird nicht verworfen, denn der ablehnungsbereich setzt sich zusammen aus [0,4] und [12;20].. und da k=5 nicht im ablehnungsbereich liegt, wird die hypothese angenommen..

bei b) fehlt mir allerdings immernoch ein ansatz.. weiß da niemand was?

20.07.2010, 16:09

Huggy

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Du hast schon a) falsch gelöst, obwohl die Entscheidung keine Ablehnung stimmt.

Generell wird der Ablehnungsbereich so bestimmt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass k in ihm liegt < 0,05 ist und er dabei so groß wie möglich gewählt wird.

Bei a) machst du einen zweiseitigen Test. Der Ablehnungsbereich setzt sich dann aus zwei Teilen zusammen, einem Bereich [0, k1] und einem Bereich [k2, 20]. Es muss gelten

$\begin{eqnarray*} P(k \in [0, k_1])+P(k \in [k_2,20])<0,05 \end{eqnarray*}$

Es ist aber schon

$\begin{eqnarray*} P(k \in [0,4])=B(4;20;0,4)>0,05 \end{eqnarray*}$

Dein Ablehnungsbereich ist also zu groß. Und es käme ja noch der zweite Teil des Ablehnungsbereichs hinzu, der das Ergebnis noch größer macht.

Bei b) machst du einen einseitigen Test, hier nach unten. Da gibt es nur einen, ungeteilten Ablehnungsbereich [0, k1], für den gelten muss:

$\begin{eqnarray*} P(k \in [0, k_1])<0,05 \end{eqnarray*}$

Schon für diesen einseitigen Ablehnungsbereich ist [0, 4] zu groß, wenn auch ganz knapp.

20.07.2010, 17:36

Zari

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achso!
bei a) würde dann der erste bereich [0,3] sein..
das würde dann ergeben: $\begin{eqnarray*} P(k \in [0,3]) = 0,0160 < 0,05 \end{eqnarray*}$ ..
für den zweiten bereich gilt dann $\begin{eqnarray*} P(k \in [12,20]) = 0,05620 > 0,05 \end{eqnarray*}$
-> damit muss dieser auch verkleinert werden..
$\begin{eqnarray*} P(k \in [13,20]) = 0,0210 < 0,05 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} P(k \in [0,3]) + P(k \in [13,20]) = 0,0370 < 0,05 \end{eqnarray*}$
damit ist alles erfüllt und hypothese wird nicht abgelehnt..

bei b): wie du bereits sagtest gilt hier
$\begin{eqnarray*} P(k \in [0,4]) = 0,0510 > 0,05 \end{eqnarray*}$ ..
nimmt man dann einfach einen kleineren bereich? also in diesem fall würde ja schon $\begin{eqnarray*} [0,3] \end{eqnarray*}$ reichen..

die entscheidung bleibt aber diesselbe oder nicht?
der unterschied ist mir noch nicht ganz klar.. es fällt halt der obere bereich weg.. also würden bei b) auch mehr als 11 treffer akzeptiert werden?

danke vielmals für deine hilfe!!
ich hoffe ich habs ein bisschen verstanden und nicht wieder nur blödsinn geschrieben..

20.07.2010, 17:46

Zari

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wollte noch fragen, ob man allgemein sagen kann, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} P(k \in [0,c_u]) < 0,025 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(k \in [c_o,n]) < 0,025 \end{eqnarray*}$
oder gilt dies nur bei ein normalverteilung?

20.07.2010, 18:43

Huggy

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Bei kontinuierlichen Verteilungen macht man das üblicherweise so. Bei diskreten Verteilungen, die Sprünge machen, versucht man die Wahrscheinlichkeit halt so gut es geht auf beide Ablehnungsbereiche gleichmäßig zu verteilen. Es ist aber nicht verboten, dass einer > 0,025 wird. Die Summe muss aber kleiner 0,05 bleiben.

Zitat:

die entscheidung bleibt aber diesselbe oder nicht?

Ja.

Zitat:

der unterschied ist mir noch nicht ganz klar.. es fällt halt der obere bereich weg.. also würden bei b) auch mehr als 11 treffer akzeptiert werden?

Natürlich! H0 ist ja jetzt p >= 0,4. Und 11 Treffer wäre sogar >= 0,5. Da gibt es doch gar keinen Grund die Nullhypothese abzulehnen.

Sonst ist auch alles richtig. Freude

20.07.2010, 19:19

Zari

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oh gut!^^danke dir nochmals für deine hilfe..
aber eine frage hätte ich noch.. wie unterscheiden sich tests wie dieser mit einem parametrischen test? also tests mit erwartungswerten und varianzen? oder geht man dort genau gleich vor?

20.07.2010, 19:38

Huggy

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Auch dieser Test ist ein parametrischer Test. Es wird ja eine Hypothese über den Parameter p einer Binomialverteilung gemacht.

Zu nicht parametrischen Tests siehe z. B. http://de.wikipedia.org/wiki/Nicht-parametrische_Statistik

21.07.2010, 11:47

Zari

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hmm.. ok..
als vorbereitung auf die klausur hat unser professor eine probeklausur ausgegeben..
dort sind aber aufgaben wie zb:
es wurden 16 messung an brutkästen durchgeführt und es ergaben sich folgende temperaturen:
dann ist da eben die messreihe aufgelistet..
weiterhin wird angenommen, dass die werte approximativ normalverteilt sind mit unbekanntem erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und unbekannter varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ :
1. testen sie zu $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.05 \end{eqnarray*}$ die nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 : \mu = 34,5 \end{eqnarray*}$ grad.
2. testen sie $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.05 \end{eqnarray*}$ die nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 : \mu = 34,5 \end{eqnarray*}$ grad unter der annahme, dass $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0,1 \end{eqnarray*}$ nun als bekannt vorausgesetzt wird.

hier gibt es eben keine wahrscheinlichkeit p..
deshalb weiß ich da nicht, wie ich da rangehen soll.. in den übungen hatten wir nur hypothesentests mit p..
wenn du mir nur den weg bzw ansatz sagen könntest.. es ist eigentlich bestimmt ähnlich wie die aufgabe von oben..

vielen dank schon im voraus!!

21.07.2010, 12:21

Huggy

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Der Parameter, auf den der Test sich jetzt bezieht, ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Das Vorgehen ist völlig analog zur Binomialverteilung.

Erst ermittelst du den Mittelwert der Messreihe. Der ist ebenfalls normalverteilt mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Die Standardabweichung des Mittelwerts der Messreihe ergibt sich aus der Standardabweichung der Temperaturverteilung und der Anzahl der Messwerte.

Jetzt kannst du auf der Basis von H0 zwei Ablehnungsbereiche bestimmen, in denen sich der Mittelwert der Messreihe nur mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 0,025 befinden würde, wenn die Nullhypothese wahr wäre.

Bei a) ist die Standardabweichung der Temperatur unbekannt und muss daher mittels der Messreihe geschätzt werden. Auf Basis der geschätzten Standardabweichung ist der Ablehnungsbereich mit der Studentverteilung zu bestimmen.

Bei b) ist die Standardabweichung bekannt. Deshalb kann der Ablehnungsbereich mit der Normalverteilung bestimmt werden.

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