Matrix diagonalisierbar?

20.07.2010, 12:23	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix diagonalisierbar? Hallo liebe Mathe - Freunde, es geht um folgendes : Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun will ich eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ aus Eigenvektoren von A bestimmen. Also diagonalisiere ich die Matrix A ind bestimme Eigenwerte / Eigenvektoren. $\begin{eqnarray} P_A = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ( 1 - \lambda )^2 - 4 = 0 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen dieses Polynoms sind -1 und 3 , also habe ich als Eigenwerte -1 und 3. Als Eigenvektoren habe ich dafür nun ausgerechnet : -1 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für 3 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also habe ich ja nun eine Basis für den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gefunden. $\begin{eqnarray} B = ( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Kann ich schon an dieser Stelle sagen, dass die Matrix A diagonalisierbar ist? Denn es gibt ja auch noch die Formel $\begin{eqnarray} D = T^{-1} A T \end{eqnarray}$ Nun wären ja $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Inverse zu T ist $\begin{eqnarray} T^{-1} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und wenn ich das nun überprüfe , stimmt die Gleichheit auch. Also ist A ab hier ja definitiv diagonalisierbar. Konnte ich das aber nicht schon sagen , als ich dazu in der Lage war aus seinen Eigenvektoren den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ zu bilden?
20.07.2010, 12:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine (n x n) - Matrix ist diagonalisierbar, wenn die geometrische Vielfachheit der Eigenvektoren gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Oder anders: Wenn n linear unabhängige Eigenvektoren existieren. Du hast also recht.
20.07.2010, 12:33	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofür ist dann also diese Formel gedacht? Gibt es Fälle , in denen nicht n verschiedene Eigenvektoren existieren ,die Matrix trotzdem diagonalisierbar ist und diese Formel nur ein weiteres Verfahren zum Überprüfen darstellt?
20.07.2010, 13:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es gibt solche Matrizen. Die Einheitsmatrix hat genau einen Eigenwert, ist aber diagonalisierbar. Aber die Formel ist ja nicht für die Diagonalisierbarkeit gedacht, sondern für die Ähnlichkeit. Das ist ja nicht das gleiche.

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