Teillösungen zu Test Partialsumme

05.11.2006, 11:54	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Teillösungen zu Test Partialsumme Ich habe mir folgenden angeschaut Test und bin ziemlich schnell zu folgenden Lösungen gekommen. Könnte sich das bitte mal jemand anschauen und mir Tips zu den Aufgaben 5(gelöst, aber der Weg ist sehr unschön; siehe EDIT weiter unten) und 6 geben, da ich da keinen Plan habe. Aufgabe 1) expliziete Form: $\begin{eqnarray} a_n=-4+3\cdot n \end{eqnarray}$ rekursive Form: $\begin{eqnarray} a_1=-4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_n+3 \end{eqnarray}$ Aufgabe 2) expliziete Form: $\begin{eqnarray} 8748 \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{3}} \right) ^n \end{eqnarray}$ rekursive Form: $\begin{eqnarray} a_1=8748 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_n\cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Aufgabe 3) Gegeben:10 Maß Getreide Jede Person kriegt $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Maß weniger als die vorhergehende Person. $\begin{eqnarray} \underbrace{x+\left( x-\frac{1}{8}\right)+\left( x-\frac{2}{8} \right) +\ldots +\left( x-\frac{9}{8}\right) }_{\text{10Personen}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10 =x+\left( x-\frac{1}{8}\right)+\left( x-\frac{2}{8} \right) +\ldots +\left( x-\frac{9}{8}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10 =10x-5,625 \end{eqnarray}$ Nach x aufgelöst ergibt sich $\begin{eqnarray} x=1,5625 \end{eqnarray}$ . Die erste Person erhält dann 1,5625 Maß. EDIT2 Die n-te Person erhält $\begin{eqnarray} 1,5625-\frac{1}{8}\cdot (n-1) \end{eqnarray}$ Maß Getreide. War vorher: Die n-te Person erhält $\begin{eqnarray} 1,5625-\frac{1}{8}\cdot n \end{eqnarray}$ Maß Getreide. Aufgabe 4: 1.ungerade natürliche Zahl=1 2.ungerade natürliche Zahl=3 3.ungerade natürliche Zahl=5 4.ungerade natürliche Zahl=7 5.ungerade natürliche Zahl=9 n-te ungerade natürliche Zahl= $\begin{eqnarray} 2n-1 \end{eqnarray}$ Partialsummenfolge: $\begin{eqnarray} 1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+3=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+3+5=9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+3+5+7=16 \end{eqnarray}$ Vermutung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~{2k-1}=n^2 \end{eqnarray}$ Den Beweis durch Induktion spare ich mir hier. EDIT: Aufgabe 5) Nach dem ich mir den Begriff der Differenz halbwegs klargemacht habe, bin ich durch abzählen auf 21 Summanden gekommen, nämlich $\begin{eqnarray} 17+19+21+23+\ldots+61 \end{eqnarray}$ Ich finde die Lösung nicht sehr elegant und es würde mich freuen, wenn jemand einen allgemeinen Weg kennen würde. EDIT2: Siehe Aufgabe 4
05.11.2006, 18:37	Apokalypse	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 6) $\begin{eqnarray} a+b+c=15 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{59}{45} \end{eqnarray}$ Das hilft mir aber nicht viel weiter, deshalb frage ich ob jemand eine anderen Lösungsweg kennt. LG Apokalypse
05.11.2006, 18:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja auch noch nicht alle Voraussetzungen über $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ genutzt: Die drei sind aufeinander folgende Glieder einer arithmetischen Folge - also gibt es ein $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=b-d,c=b+d \end{eqnarray}$ . Das ergibt ein 2x2-Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} b,d \end{eqnarray}$ .

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