einheitengruppe von Z/12Z[X]

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
einheitengruppe von Z/12Z[X]
Hallo,
ich hab gestern ne Klausur geschrieben und da war die Aufgabe, die Einheitengruppe von zu bestimmen.
Meine erste Idee war, dass ist, aber dann ist mir aufgefallen, dass gar kein Integritätsbereicht ist. Nunja, ab da wusste ich dann nicht mehr, wie ich weiter machen soll.

Würde mich über Ideen und/oder Lösungen freuen =)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einheitengruppe von Z/12Z[X]
Ok, wie schauen denn z.B. die linearen Polynome in aus, welche Einheiten sind? Versuch die mal alle zu bestimmen (oder wenigstens einige davon) und dann schauen wir, ob da eine Gesetzmäßigkeit da ist, die man vielleicht verallgemeinern kann...
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also aund b müssen ja auch aus Z/12Z sein und es muss gelten (aX+b)(cX+d)=1.
Ausmultiplizieren ergibt: acX^2+(ad+bc)X+bd=1.

Für a,c=0 müssen b und d Einheiten sein. Das ist ja klar.
Für a=0 gilt bcX+bd=1. Dazu müssten dann ja b und c Nullteiler sein, aber b und d Einheiten (geht sowas denn?)

Kurz zum Verständnis: Einheiten sind {1,5,7,11} und Nullteiler {2,3,4,6,8,9,10} oder?

Also kann das oben ja eigentlich nicht gehen.

Naja nehmen wir an dass keine Koeffizienten 0 sind.
Dann müssten doch wieder a,c Nullteiler sein, b,d Einheiten und ad+bc=0 also ad=-bc=11bc hmmm also (ad)/(bc)=11.
Also mehr fällt mir jetzt irgendwie nicht ein ^^ Aber es ist ja auch noch sehr früh xD

Vielen Dank schonmal für deine Antwort =)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Posting steckt so voller Fehler und Ungereimtheiten, dass man gar nicht weiß, wo man zuerst anfangen soll, z.B. gleich zu Beginn:

Zitat:
Original von Hamsterchen
Also aund b müssen ja auch aus Z/12Z sein und es muss gelten (aX+b)(cX+d)=1.
Ausmultiplizieren ergibt: acX^2+(ad+bc)X+bd=1.

Zunächst einmal, warum in aller Welt soll das Inverse eines invertierbaren linearen Polynoms wieder linear sein??? Nimm z.B. den Ring R=Z/8Z, da gilt z.B. in R[X]



(statt a+8Z hab ich hier nur kurz a geschrieben), d.h., das Inverse zu 1+2X ist alles andere als linear...

Warum bin ich auf einen anderen Ring ausgewichen? Weil hier durch eine seltsame Laune des Schicksals (oder besser, aufgrund von Bedingungen, die du mit Sicherheit nicht überprüft hast), das Inverse von invertierbaren linearen Polynomen in deinem Ring Z/12Z[X] wieder linear ist...

Also machen wir uns die Sache mal einfacher, sonst kommen wir hier gar nicht weiter und suchen das Inverse speziell zu 1+aX in Z/12Z[X] unter zwar jetzt nur ganz naiv unter den Polynomen 1+bX... Damit wären dann 2 Fragen zu beantworten:

1. Welche Bedingungen müssten dann a und b erfüllen?
2. Gibt es solche Elemente a und b in Z/12Z ?

Da Z/12Z ja nur 12 Elemente hat, sollten diese Fragen ja hoffentlich noch leicht zu beantworten sein...
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok also durch rumprobieren hab ich jetzt nur (6X+1) als Einheit, weil in .

Hmmm aber ableiten kann ich da iwie immernoch nix...

EDIT: Hab erst nach meinem Post deinen Post gelesen. Wieso bist du gleich so aggressiv? Ich bin gerade erst aufgewacht als ich das geschrieben hatte und ich hab mit Inversen von Polynomen in nem Restklassenring noch nix zu tun gehabt, also sei doch bitte nicht gleich so gemein.
Ich dachte eben, weil du dich auf die linearen Polynome beschränken wolltest, dass ich eben nur erstmal damit rechnen soll....
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht aggressiv, was ich allerdings schon einfordere, ist eine gewisse Ernsthaftigkeit beim Versuch die Aufgabe gemeinsam zu lösen...Und die habe ich eben bis jetzt vermisst... unglücklich

Auch Aussagen wie

Zitat:
Original von Hamsterchen
[...]und ich hab mit Inversen von Polynomen in nem Restklassenring noch nix zu tun gehabt[...]


kann ich jetzt nicht wirklich ernst nehmen aufgrund der Tatsache, dass man in deiner Klausuraufgabe gerade diese Inversen bestimmen soll... Ihr bekommt also Aufgaben zur Klausur, welche ihr bis dahin noch gar nicht geübt hattet? geschockt

Aber du hast meine obigen Fragen noch nicht ganz beantwortet, wenn gleich du immerhin nun schon ein Beispiel für ein solches a gefunden hast, wo es funktioniert? Immerhin stellt sich die Frage, ist es das einzige und wie kann man alle diese a charakterisieren... Das wären ganz, ganz wichtige Fragen auf dem Weg zur Bestimmung aller Einheiten in deinem Polynomring, auch wenn du das noch nicht siehst...
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist schon klar, dass das wichtige fragen sind ^^ aber ich sehs halt noch nicht.
und nein, ich kann mich nicht daran erinnern dass wir das jemals gemacht haben, also wir hatte natürlich einheiten in restklassenringen, also ohne polynome, aber so eigentlich nicht. in klausuren kommen ja auch nicht nur aufgaben dran, die wir schon hatten, dann wäre es ja kein transfer =)

und ich will nicht, dass du denkst, dass ich nicht ernsthaft versuche, die aufgabe zu lösen. ich meine, ich MUSS das ja nicht machen, klausur is ja schon rum ^^ aber ich WILL es halt verstehen. dann wäre es doch unlogisch, wenn ich es nicht ernst nehmen würde.

ok also ich kann dir ja mal sagen, was ich mir bei meiner suche gedacht habe.

ich bin ja davon ausgegangen, dass das inverse auch linear ist. dann habe ich mir halt gedacht, dass das a und c normalteiler sein müssen, und eben das b und d einheiten. dazu muss noch gelten, dass b und d gleich sein müssen, weil die einheiten alle selbstinvers sind. also muss ich noch schauen, welche 2 normalteiler (also die beiden müssen multipliziert natürlich 0 ergeben, also sozusagen gegenstücke sein, nicht irgendwelche normalteiler), wenn ich sie beide mit der gleichen einheit multipliziere und dann addiere, ergeben 0? naja und da kam bei mir halt nur die 6 raus, weil 1*6+1*6=12=0.

hmmm ja so hab ich das eben versucht. leider hab ich jetzt keinen anderen weg gesehen...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst hier dauernd von Normalteilern - die gibt's zwar in der Algebra auch, sind aber in diesem Zusammenhang ziemlich sinnlos - gemeint hast du offenbar Nullteiler... geschockt

Und nein, a=6 ist nicht die einzige Möglichkeit, dass 1+aX ein Inverses in Z/12Z[X] besitzt, sondern a=0 ist noch eine offensichtliche weitere Möglichkeit... Wenn du aber schon bei allereinfachsten Spezialfällen scheiterst, wie sollen wir dann auf die allgemeine Gestalt der Einheiten, nämlich



kommen... Also ich sehe da nicht den Funken einer Chance und zieh mich daher hier zurück... Immerhin weisst du aber jetzt, was am Ende rauskommen hätte sollen, also war es für dich ja nicht ganz umsonst... Wink
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm
ok das war hart... aber naja, werde mir über dir lösung dann noch paar gedanken machen
übrigens meinte ich natürlich nullteiler... sry ^^ hab in letzter zeit beide wörter wohl zu oft gehört, aber egal, du weißt ja was ich meine.

übrigens hatte ich mir nur die fälle angesehen, wo nix null ist.

naja aber leider siehst du in mir einen hoffnungslosen fall, von daher lass ich das thema dann jetzt auch sein und widme mich den nächsten klausuren...

vielen dank nochmal und bb
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