Offene und gleichzeitig geschlossene Mengen

20.07.2010, 21:16

heriben

Offene und gleichzeitig geschlossene Mengen

Meine Frage:
Hi,

ich habe während dem Studium der Mengenlehre gehört, dass es Mengen gebe, die sowohl offen als auch geschlossen seien. Wie kann ich mir diese vorstellen bzw. welche Beispiele gibt es?

Vielen Dank!

Meine Ideen:
ein Freund meinte einmal die Menge der Reelen Zahlen wäre z.B. offen und geschlossen, halte ich persönlich aber für ein Gerücht. Die Menge der Reelen Zahlen ist für mich offen.

20.07.2010, 21:38

Tarnfara

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RE: Offene und gleichzeitig geschlossene Mengen

Zitat:

Original von heriben
Meine Frage:
Hi,

ich habe während dem Studium der Mengenlehre gehört, dass es Mengen gebe, die sowohl offen als auch geschlossen seien. Wie kann ich mir diese vorstellen bzw. welche Beispiele gibt es?

Was bedeutet denn für dich offen/geschlossen ? Oder anders: Wie sind sie definiert ?

Zitat:

Meine Ideen:
ein Freund meinte einmal die Menge der Reelen Zahlen wäre z.B. offen und geschlossen, halte ich persönlich aber für ein Gerücht. Die Menge der Reelen Zahlen ist für mich offen.

Was ist der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

20.07.2010, 21:46

heribertn

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Offen heißt für mich, dass es zu jedem Punkt aus der Menge eine Umgebung aus Punkten gibt, die ebenfalls in der Menge enthalten sind.
Eine Menge ist genau dann geschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Die Grenzen von R sind damit offen.

20.07.2010, 21:53

Tarnfara

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Zitat:

Eine Menge ist genau dann geschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Die Grenzen von R sind damit offen.

Was ist das Komplement von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Verwende die Definition, nicht die Anschauung von irgendwelchen Rändern !

20.07.2010, 22:02

heriben

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Das Komplement von R ist Unendlich, nicht? Dann wär das Komplement ja geschlossen und ein weiteres Argument, dass R offen ist.

20.07.2010, 22:11

Tarnfara

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Zitat:

Original von heriben
Das Komplement von R ist Unendlich, nicht? Dann wär das Komplement ja geschlossen und ein weiteres Argument, dass R offen ist.

Unendlich ist keine Menge.

Du solltest langsam aber sicher merken, dass die Frage, ob eine Menge offen oder abgeschlossen ist, eine andere (oder diegleiche Menge) als Bezugspunkt benötigt.

Nehmen wir $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Bezugspunkt !

Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb R = \varnothing \end{eqnarray*}$

Als nächstes wäre dann zu entscheiden, ob die leere Menge offen ist, was meinst du ?

20.07.2010, 22:44

heriben

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Ich würde denken, dass die geschlossen ist.
Versteh den Knackpunkt aber immer noch nicht so ganz. unglücklich

20.07.2010, 22:51

Tarnfara

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Zitat:

Original von heribertn
Offen heißt für mich, dass es zu jedem Punkt aus der Menge eine Umgebung aus Punkten gibt, die ebenfalls in der Menge enthalten sind.

Die leere Menge enthält keine Punkte:
Also gibt es zu jedem dieser Punkte (Diese nichtexistenten Punkte haben alle möglichen Eigenschaften) eine Umgebung aus Punkten, die ebenfalls vollständig in der leeren Menge liegen.

(Aus einer falschen Aussage folgen nur wahre Aussagen).

Demnach ist die leere Menge offen.

Da die leere Menge das Komplement zu R in R ist, bedeutet dies, dass das Komplement von R offen ist, also ist R abgeschlossen.

Gleichzeitig ist R aber auch offen im Bezug auf R, da es zu jedem Punkt in R eine Umgebung gibt, so dass wieder alle Punkte dieser Umgebung in R liegen (Wo sollen sie auch sonst sein).

Folglich ist R gleichzeitig offen wie auch abgeschlossen.

Diese Antwort kann sich ändern, wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffasse. Denn nun ist das Komplement zu R nicht mehr die leere Menge sondern $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und ich muss entsprechend von neuem überlegen, ob dieses Komplement nun offen ist oder nicht.

Die leere Menge ist ein weiteres Beispiel für eine Menge, die sowohl abgeschlossen als auch offen ist.

Grüße

20.07.2010, 23:00

heriben

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Ist ja faszinierend genial! Freude

Vielen Dank! Dass die Offen- und Abgeschlossenheit von einer Bezugsmenge abhängig ist war mir in dem Ausmaß nicht so klar.

Danke nochmal

20.07.2010, 23:47

Evelyn89

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Es gibt noch ein einfaches Beispiel für eine Menge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Nämlich das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b)\subset \mathbb R ~(a<b) \end{eqnarray*}$ ist in IR offen und abgeschlossen.

Ich finde hier sieht man das sehr schnell und einfach.

20.07.2010, 23:55

giles

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Zitat:

Original von Evelyn89
Nämlich das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b)\subset \mathbb R ~(a<b) \end{eqnarray*}$ ist in IR offen und abgeschlossen.

Ich finde hier sieht man das sehr schnell und einfach.

Ich denke da verwechselst du was. Diese Menge ist nicht sowohl abgeschlossen als auch offen sondern weder abgeschlossen noch offen.

siehe auch

21.07.2010, 17:49

Evelyn89

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Zitat:

Original von giles

Zitat:

Ich denke da verwechselst du was. Diese Menge ist nicht sowohl abgeschlossen als auch offen sondern weder abgeschlossen noch offen.

siehe auch

Meinte ich doch! verwirrt

Mannomann. Ich muss mich mehr kontentrieren, wenn ich hier tippe.
Aber danke. du hast natürlich recht.

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