Vorbereitung Mathe Olympiade

21.07.2010, 12:28

khan95

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Vorbereitung Mathe Olympiade

hi hab mal versucht eine aufgabe aus der Mathematik-Olympiade zu lösen:
Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die die beiden Zahlen
4x^5 -7 und 4x^(13) -7
gleichzeitig Quadratzahlen sind.
Mein ansatz
zunächst 4x^5-7>0 also folgt für x>(7/4)^(1/5)
als nächstes (I)4x^5 -7=z^2, (II) 4x^13 -7=y^2
erste (I) nach x^5 gelöst x^5=((z+7)/4)
(I)*X^8 dann folgt für (I) x^13=
für (II) gilt x^13=
dann (I)=(II)
((z+7)x^8)/4=(y^2+7)/4
x=((y^2+7)/(z+7))^(1/8)
hmm irgendwie sieht das schon komisch aus
kann mir jemand helfen
ichhab das gefühl es ist alles falsch traurig

traurig

nicht schimpfen ist meine erst aufgabe aus der olympiade

21.07.2010, 13:13

AD

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Wenn das deine erste Olympiadeaufgabe ist, dann hast du dir einen ganz schönen Hammer rausgesucht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Nachfrage:

Zitat:

Original von khan95
Man bestimme alle reellen Zahlen x, für die die beiden Zahlen
4x^5 -7 und 4x^(13) -7
gleichzeitig Quadratzahlen sind.

Steht da wirklich reell und nicht etwas ganz? Nicht dass es keinen Sinn mit "reell" macht, es ist nur ungewöhnlich für diese Art Aufgaben. verwirrt

verwirrt

21.07.2010, 13:19

Khan95

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Ja reellen zahlen

21.07.2010, 13:28

AD

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OK, mein Fehler: Dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sein muss, folgt ohnehin auch so durch zwei, drei Überlegungen - möglicherweise ein Bestandteil der Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2010, 13:42

khan95

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teile mit mir deine überlegungen^^
eine frage: die 4 ist eine qudart zahl weil man sie 2^2 schreiben
ist demzufoge auch 3 eine qudratzahl mann kann ja( wurzel3)^2 schreiben verwirrt

verwirrt

21.07.2010, 13:48

AD

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Aus der Aufgabenstellung folgt unmittelbar, dass $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{13} \end{eqnarray*}$ beide rational sind, und daraus kann man über

$\begin{eqnarray*} x = \frac{(x^{13})^2}{(x^5)^5} \end{eqnarray*}$

rasch folgern, dass dann auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rational sein muss.

Sei $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus

$\begin{eqnarray*} 4p^5 = (z^2+7)q^5 \end{eqnarray*}$ ,

dass $\begin{eqnarray*} q^5|4 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} q|2 \end{eqnarray*}$ . Der Fall $\begin{eqnarray*} q=2 \end{eqnarray*}$ hätte $\begin{eqnarray*} p^5 = 8(z^2+7) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2|p \end{eqnarray*}$ zur Folge, Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit. Also ist $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ganzzahlig.

Der Rest der Aufgabe wird nun wohl sein, dass man nachweist, dass $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ die einzige mögliche Lösung ist. verwirrt

verwirrt

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21.07.2010, 13:48

kahn95

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upps
Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht
boah diese aufgabe macht mich fertig

21.07.2010, 14:13

khan95

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danke für deine hilfestellungen, jedoch habe ich probleme dir zu folgen
du hast geschreiben das Aus der Aufgabenstellung folgt unmittelbar, dass $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{13} \end{eqnarray*}$ beide rational sind
und dann x=(x^(13))^2/((x^5)^5
wie kommste auf das?

21.07.2010, 14:17

AD

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Falsche Frage.

Wenn etwas an der Argumentation unklar ist, dann solltest du das anders (und präziser) fragen.

21.07.2010, 14:26

khan95

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welche umformung hast du benutz um auf den term zu kommen
x=(x^(13))^2/((x^5)^5

21.07.2010, 14:33

AD

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$\begin{eqnarray*} x = x^1 = x^{13\cdot 2 - 5\cdot 5} \end{eqnarray*}$ und dann Potenzgesetze.

21.07.2010, 14:56

khan95

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ach ich depp^^
q^5 sei ein teiler von 4
das musst doch nich sein q=3
und damit ist es kein teile von 4 verwirrt

verwirrt

21.07.2010, 15:02

AD

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Ja, offensichtlich mangelt es dir an wichtigen Grundlagen der Zahlentheorie, wie Teilbarkeit und Teilerfremdheit usw.:

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} a|(bc) \end{eqnarray*}$ sowie der Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a|c \end{eqnarray*}$ .

Das ganze wird hier auf $\begin{eqnarray*} a=q^5,b=p^5,c=4 \end{eqnarray*}$ angewandt.

21.07.2010, 15:28

khan95

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ja, da haste schon recht, mir mangelt es an wichtigen Grundlagen der Zahlentheorie, wie Teilbarkeit und Teilerfremdheit usw.
deshalb bin ich hier
ok weiter
da steht falls a ist ein teil von(bc) wobei a und b teilerfremd sind
dann folgt a ist teiler von c
aber woher wollen wir wissen das a ein teiler von (bc) ist

21.07.2010, 15:33

AD

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Meine Güte ... das folgt doch aus der Gleichung

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 4p^5 = (z^2+7)q^5 \end{eqnarray*}$ ,

Rechts steht ein Produkt ganzer Zahlen, was gemäß dieser Gleichung gleich der linken Seite ist, also folgt für jeden der beiden Faktoren rechts, dass er die linke Seite teilt, speziell also auch $\begin{eqnarray*} q^5 | (4p^5) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht versuchst du dich erstmal an einer einfacheren Aufgabe.

21.07.2010, 15:47

khan95

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sry dass ich dich nerve
weingste habe was gelernert
darf ich dich fragen welche klasse du gehst?

21.07.2010, 15:51

AD

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Seniorenklasse. Big Laugh

Big Laugh

Es muss dir genügen, dass ich mehr als doppelt so alt bin wie du.

21.07.2010, 15:58

khan95

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aso^^
das sind Sie also ein mathematiker Gott

Gott

noch zu der aufgabe ich muss nur noch zeigen das x=2 die einzige lösung ist

21.07.2010, 16:02

AD

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Ja, wobei das mit dem "nur" so eine Sache ist: Das ist der schwierigste Teil der Aufgabe.

Vom Niveau her würde ich sagen 3.Runde (Land), vielleicht sogar 4.Runde (Bund), oder? verwirrt

verwirrt

21.07.2010, 16:06

khan95

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4. Stufe (Bundesrunde)
Klasse 11{13
Aufgaben { 2. Tag

21.07.2010, 16:15

AD

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Und sowas suchst du dir als erste MO-Aufgabe aus? Warum so bescheiden, wenn es doch auch eine IMO-Aufgabe sein könnte? Big Laugh

Big Laugh

21.07.2010, 16:27

khan95

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Big Laugh

ich frage mich wieviel schüler diese aufgabe richtige hatten?
echt übertreiben diese aufgaben^^

21.07.2010, 16:29

AD

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Zitat:

Original von khan95
echt übertreiben diese aufgaben^^

Ich übersetze das mal so, dass du meinst, diese Aufgaben seien übertrieben komplziert?

Ganz und gar nicht, wie soll denn bei den besten Schülern Deutschlands eine Differenzierung stattfinden, wenn nur einfache Aufgaben gestellt werden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2010, 18:17

khan95

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da haben sie wieder recht smile

smile

nun bin ich gespannt wer die aufgabe vollständig lösen kann
ich kanns nich traurig

traurig

21.07.2010, 18:24

AD

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Zitat:

Original von khan95
da haben sie wieder recht smile

smile

In die Höflichkeitsform zu verfallen, während man gleichzeitig alles gleichmacherisch klein schreibt, ist an Sinnlosigkeit nicht zu überbieten. Da bleib doch besser beim Duzen, so wie es hier sowieso generell üblich ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Aufgabe:

Aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} 4x^5 \cdot 4x^{13} = (4x^9)^2 \end{eqnarray*}$ ebenso ein vollständiges Quadrat ist wie $\begin{eqnarray*} (4x^5-7)(4x^{13}-7) = z^2y^2 \end{eqnarray*}$ , kann man in geeigneter Weise abschätzen, dass es für "große" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ keine Lösung geben kann. Für die übrig bleibenden paar kleinen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte reicht jeweils eine Einzelüberprüfung.

21.07.2010, 18:41

khan95

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danke dass DU mich darauf aufmerksam machst!
das habe ich in der tat nicht gewusst
ich bin der deutschen nicht sehr mächtig also verbesser mich ruhig den nur so kann ich die deutsche sprache lernen.
züruck zur aufgabe hast du es schon gelöst?

21.07.2010, 19:17

khan95

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dank dir
einfach genial Prost

Prost

21.07.2010, 19:22

AD

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Naja, was ich bisher geschrieben habe, ist bisher mehr heuristisch, das muss natürlich noch seriös mathematisch untersetzt werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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