Nichtlineares Gleichungssystem

21.07.2010, 13:30	chiefrosi648	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineares Gleichungssystem Hallo, ich bin Doktorand der Nachrichtentechnik und bin leider bei einem Problem an meine mathematischen Grenzen gestoßen. Ich hoffe, dass mir jemand von euch weiterhelfen kann. Mein Problem: Ich muss die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ finden, für die folgender Ausdruck minimiert wird: $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\ln(x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega))+\frac{C(\Omega)}{x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega)}d\Omega \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A(\Omega) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B(\Omega) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C(\Omega) \end{eqnarray}$ gilt, dass sie größer 0 sind für alle $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Wenn ich nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ableite und zu 0 setze, dann komme ich auf folgendes Gleichungssystem (sofern ich richtig gerechnet habe): $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\frac{A(\Omega)}{x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega)}d\Omega = \int_0^{2\pi}\frac{A(\Omega)C(\Omega)}{\left(x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega)\right)^2}d\Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\frac{B(\Omega)}{x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega)}d\Omega = \int_0^{2\pi}\frac{B(\Omega)C(\Omega)}{\left(x_1 A(\Omega)+x_2 B(\Omega)\right)^2}d\Omega \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich dann aber leider mit meinem Latein am Ende. Ich vermute, dass es keine geschlossene Lösung dafür gibt, wenn doch, dann wäre es natürlich super, wenn wir jemand helfen könnte. Falls nicht, könnte mir vielleicht jemand mit numerischen Verfahren weiterhelfen? Es wäre wichtig, dass es möglichst effizient arbeitet, da ich die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ziemlich oft berechnen muss ... Ich wäre auch für jede Literturangabe zu dem Thema dankbar, dann könnte ich mich evtl. selbst durchbeißen. Vielen Dank schon mal für eure Hilfe! Grüße, Tobias
21.07.2010, 15:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest kann man durch eine kleinen Dreh das Problem erstmal auf eine Variable zurückführen: Mit $\begin{eqnarray} z = \frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} x_1 ~ \int\limits_0^{2\pi} ~ \frac{A(\Omega)}{A(\Omega)+z B(\Omega)} ~ \dd\Omega &=& \int\limits_0^{2\pi} ~ \frac{A(\Omega)C(\Omega)}{\left(A(\Omega)+z B(\Omega)\right)^2} ~ \dd\Omega \\ x_1 ~ \int\limits_0^{2\pi} ~ \frac{B(\Omega)}{A(\Omega)+z B(\Omega)} ~ \dd\Omega &=& \int\limits_0^{2\pi} ~ \frac{B(\Omega)C(\Omega)}{\left(A(\Omega)+z B(\Omega)\right)^2} ~ \dd\Omega \end{eqnarray}$ , und durcheinander dividiert bleibt dann nur eine Gleichung für die eine Variable $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Bei speziell strukturierten $\begin{eqnarray} A(\Omega),B(\Omega),C(\Omega) \end{eqnarray}$ könnte man vielleicht noch die Integrale ausrechnen und damit zu einer "integralfreien" Gleichung für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ kommen. Andernfalls bleiben nur Näherungsverfahren.
21.07.2010, 16:55	chiefrosi648	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Arthur, danke schon mal. Kannst du mir ein effizientes Näherungsverfahren nennen? Ich habe schon vernünftige Startwerte für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ . Ich kann mir ja dann Literatur dazu im Netz suchen und mich bei Problemen nochmal melden. Grüße, Tobias

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